江蘇省啟東市高中數學 第二章 平面向量 第7課時 2.3.2 向量的坐標表示（2）教學實錄 蘇教版必修4

江蘇省啟東市高中數學第二章平面向量第7課時2.3.2向量的坐標表示（2）教學實錄蘇教版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：江蘇省啟東市高中數學

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2023年3月15日星期三第3節

4.教學時數：1課時二、核心素養目標1.培養學生運用坐標表示向量的能力，提高學生的空間想象力和抽象思維能力。

2.通過向量坐標表示的學習，增強學生的數學建模意識，提高解決實際問題的能力。

3.培養學生嚴謹的邏輯推理能力和數學表達能力，提升學生的數學素養。三、學習者分析1.學生已經掌握了平面幾何中的基本概念，如點、線、面等，以及平面直角坐標系的基本知識，能夠進行基本的坐標運算。

2.學生對數學學習興趣不一，部分學生對向量概念理解較好，能夠通過圖形直觀地理解向量的性質；而部分學生可能對向量的抽象概念感到困惑。學生的學習能力方面，有的學生具備較強的邏輯思維能力，能夠迅速掌握新知識；有的學生則需要更多的時間來消化和理解。

3.學生在學習向量坐標表示時可能遇到的困難包括：對坐標軸的理解不夠深入，導致在計算向量坐標時出現錯誤；對向量與坐標軸的夾角關系理解不透徹，影響向量的正負判斷；以及在實際應用中，如何將實際問題轉化為向量坐標表示的能力不足。此外，學生可能對向量坐標表示的應用場景不夠熟悉，難以將理論知識與實際問題相結合。四、教學資源-多媒體教學設備：投影儀、電腦

-教學軟件：幾何畫板、數學教學軟件

-信息化資源：電子課本、在線數學教育平臺

-教學手段：實物教具（如向量模型）、板書、課堂討論五、教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對向量坐標表示的興趣，激發其探索欲望。

過程：

開場提問：“同學們，你們在平面直角坐標系中是否接觸過向量？向量與坐標軸有什么關系？”

展示一些生活中的向量實例，如指南針、風速計等，讓學生初步感受向量的應用。

簡短介紹向量坐標表示的基本概念，強調其在數學和物理中的重要地位，為接下來的學習打下基礎。

2.向量坐標表示基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解向量坐標表示的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解向量坐標表示的定義，包括其與坐標軸的夾角和長度關系。

詳細介紹向量坐標表示的組成部分，即向量的起點和終點坐標。

3.向量坐標表示案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解向量坐標表示的特性和重要性。

過程：

選擇幾個向量坐標表示的案例，如直線的斜率、物體的運動軌跡等。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解向量坐標表示的多樣性。

引導學生思考這些案例在數學和物理中的應用，以及如何利用向量坐標表示解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組討論一個與向量坐標表示相關的實際問題，如如何確定兩點間的最短距離。

小組內討論解決方案，并嘗試用向量坐標表示來解決問題。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對向量坐標表示的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括問題分析、解決方案和向量坐標表示的應用。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節課的主要內容，強調向量坐標表示的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節課的學習內容，包括向量坐標表示的定義、組成部分和案例分析。

強調向量坐標表示在數學和物理中的重要性和廣泛應用，鼓勵學生進一步探索和應用。

布置課后作業：

（1）完成課本相關練習題，鞏固向量坐標表示的知識。

（2）選擇一個生活中的實例，用向量坐標表示來描述，并撰寫一份簡短的報告。

7.課后拓展（自選）

目標：激發學生的興趣，拓展知識面。

過程：

鼓勵學生查閱相關資料，了解向量坐標表示在其他學科中的應用。

布置研究性學習任務，如設計一個利用向量坐標表示解決實際問題的項目。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-向量在物理學中的應用：介紹向量在力學、電磁學等物理學科中的應用，如力的分解、電場強度等。

-向量在工程學中的應用：探討向量在土木工程、機械設計等領域的應用，如力的平衡、結構分析等。

-向量在計算機圖形學中的應用：講解向量在計算機圖形學中的角色，如二維和三維圖形的繪制、動畫制作等。

-向量在經濟學中的應用：介紹向量在經濟學中的建模和分析，如供需關系、市場均衡等。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀相關的科普書籍或文章，以加深對向量在實際問題中的應用理解。

-推薦學生觀看在線教育平臺上的向量應用教學視頻，如MITOpenCourseWare、KhanAcademy等。

-組織學生參加數學建模競賽或科技創新活動，讓學生在實際項目中應用向量知識。

-建議學生通過實驗探究向量在物理學中的應用，如使用彈簧測力計測量力的分解等。

-引導學生利用計算機軟件進行向量計算和圖形繪制，如使用MATLAB、Python等編程語言或Geogebra、GeoGebra等圖形計算器。

-鼓勵學生參與學術討論和學術交流，與其他同學分享各自在向量學習中的心得和體會。

-提供一些拓展閱讀材料，如《向量分析基礎》、《應用向量分析》等，以拓寬學生的知識面。

-鼓勵學生關注向量在新興科技領域的應用，如人工智能、機器學習等，以激發學生的學習興趣。

-建議學生參與數學研究項目，如研究向量在復雜系統中的動力學行為等，以提升學生的研究能力。七、作業布置與反饋作業布置：

1.完成課本第二章“平面向量”第7課時“2.3.2向量的坐標表示（2）”后的練習題，包括向量坐標表示的練習、向量坐標運算的練習以及向量坐標表示在幾何問題中的應用題。

2.選擇兩個生活中的實例，用向量坐標表示來描述，并撰寫一份簡短的報告，包括實例的背景、向量的選取、坐標表示的過程以及分析。

3.利用幾何畫板或類似的軟件，繪制幾個向量，并嘗試通過軟件進行向量的坐標表示和運算，記錄下操作步驟和結果。

作業反饋：

1.對學生的作業進行批改時，首先檢查學生是否能夠正確理解并應用向量坐標表示的概念。

2.重點關注學生在向量坐標運算中的準確性，如向量的加減、數乘等運算是否正確。

3.對學生在幾何問題中的應用題進行評價，檢查其是否能夠將實際問題轉化為向量坐標表示，并正確解決。

4.對于報告中存在的問題，如實例描述不夠清晰、坐標表示不準確等，給出具體的修改建議。

5.針對學生在使用軟件進行向量操作時遇到的問題，如軟件操作不熟練、結果解釋不準確等，提供詳細的指導。

6.鼓勵學生在作業中展示自己的創新思維，如對向量坐標表示的優化方法、在解決實際問題中的獨特見解等。

7.對學生的作業進行整體評價，包括作業的完成度、正確率、創新性等方面，給予積極的反饋和鼓勵。

8.對于作業中普遍存在的問題，可以在下一節課上進行集體講解和討論，幫助學生共同克服困難。

9.鼓勵學生之間相互批改作業，以提高學生的自我評估能力和團隊合作精神。

10.定期與學生進行一對一的作業反饋，針對學生的具體情況進行個別指導，幫助學生在學習過程中不斷進步。八、反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.結合實際案例，讓學生體會向量坐標表示的實用性。比如，在講解向量坐標表示時，可以結合建筑設計中的力分析案例，讓學生看到數學知識在實際工程中的應用，這樣既能提高學生的學習興趣，又能加深他們對知識的理解。

2.利用信息技術手段，提高課堂互動性。通過幾何畫板等軟件，讓學生直觀地看到向量坐標表示的變化過程，同時，也可以通過在線平臺進行課堂互動，讓學生在網絡上進行討論和交流，這樣可以拓寬學生的視野，提高他們的參與度。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.部分學生對向量坐標表示的理解不夠深入，可能是由于基礎知識不夠扎實，或者是對抽象概念接受能力有限。

2.課堂討論環節中，部分學生參與度不高，可能是由于課堂氛圍不夠活躍，或者是學生對于討論話題的興趣不足。

3.在作業反饋環節，由于學生人數較多，可能存在反饋不夠及時、不夠細致的問題。

反思改進措施（三）

1.針對基礎知識不扎實的學生，可以在課前或課后進行個別輔導，幫助他們鞏固基礎知識，為學習向量坐標表示打下堅實的基礎。

2.為了提高課堂互動性，可以嘗試采用小組合作學習的方式，讓學生在小組內討論問題，這樣可以激發學生的參與熱情，同時也能培養他們的團隊協作能力。

3.在作業反饋環節，可以采用多種方式，如在線批改、小組互評等，以提高反饋的及時性和準確性。同時，對于學生的作業，可以給出詳細的批改意見和改進建議，幫助他們更好地理解和掌握知識。

4.定期組織學生進行復習和測試，以檢驗他們對向量坐標表示的掌握程度，并及時調整教學策略，確保教學目標的實現。

5.加強與學生的溝通，了解他們的學習需求和困難，根據學生的實際情況調整教學內容和方法，使教學更加貼近學生的實際需求。課后作業1.已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec{b}=(-1,4)$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$的坐標表示。

答案：$\vec{a}+\vec{b}=(2,3)+(-1,4)=(2-1,3+4)=(1,7)$

2.如果向量$\vec{a}$的坐標表示為$(3,-2)$，且$\vec{a}$與x軸的夾角為$150^\circ$，求$\vec{a}$的坐標表示。

答案：由于$\vec{a}$與x軸的夾角為$150^\circ$，則$\vec{a}$在x軸和y軸上的分量分別為$3\cos150^\circ$和$3\sin150^\circ$。計算得：

\[

\vec{a}=(3\cos150^\circ,3\sin150^\circ)=(3\times-\frac{\sqrt{3}}{2},3\times\frac{1}{2})=(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})

\]

3.已知點A(2,1)和點B(-3,4)，求向量$\vec{AB}$的坐標表示。

答案：向量$\vec{AB}$的坐標表示為終點坐標減去起點坐標，即：

\[

\vec{AB}=(-3-2,4-1)=(-5,3)

\]

4.如果向量$\vec{a}$的坐標表示為$(x,y)$，且$\vec{a}$與x軸的夾角為$30^\circ$，且$\vec{a}$的長度為5，求向量$\vec{a}$的坐標表示。

答案：向量$\vec{a}$的長度為5，即$\sqrt{x^2+y^2}=5$。由于$\vec{a}$與x軸的夾角為$30^\circ$，則$x=5\cos30^\circ$和$y=5\sin30^\circ$。計算得：

\[

\vec{a}=(5\cos30^\circ,5\sin30^\circ)=(5\times\frac{\sqrt{3}}{2},5\times\frac{1}{2})=(\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2})

\]

5.已知向量$\vec{a}=(2,3)$和向量$\vec{b}=(-1,4)$，求向量$\vec{a}-\vec{b}$的坐標表示，并計算它們的點積。

答案：向量$\vec{a}-\vec{b}$的坐標表示為：

\[

\vec{a}-\vec{b}=(2,3)-(-1,4)=(2+