湖北省部分高中協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期3月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆湖北省部分高中協(xié)作體高三年級三月聯(lián)考一模考試高三數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘。★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x)。若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a2、下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.(sina)'=cosa(a為常數(shù)) B.(sin2x)'=2cos2xC.(3x)'=3xlog3e D.(x+1)'=3、已知θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+π4A.14 B.3C.1 D.34、在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若2acosC+b=2ccosA,c=3a,則A=()A.2π3 B.πC.π3 D.5、已知一個圓錐和一個圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積的比值為()A.12 B.C.33 D.6、將正方形ABCD沿對角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A.12 B.C.-12 D.-7、已知直線方程為xcos300°+ysin300°=3,則直線的傾斜角為()A.60° B.60°或300°C.30°或330° D.30°8、從總體量為N的一批零件中使用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本。若某個零件在第2次抽取時被抽到的可能性為1%,則N=()A.100 B.4000C.101 D.4001二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、(多選題)已知集合P={x|x2=4},N為自然數(shù)集,則()A.2∈P B.P={-2,2}C.{?}?P D.P?N10、(多選題)若函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<011、(多選題)已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是()A.an=(-1)n-1+1 B.an=2,C.an=2sinnπ2 D.an=cos(三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、不等式2x+5x?2<1的解集為13、在數(shù)列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=。

14、O為空間中任意一點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)不共線,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）小王大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)。經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本為W(x)萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時,W(x)=13x2+x(萬元)。在年產(chǎn)量不小于8萬件時,W(x)=6x+100(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?16、（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x∈R)。(1)求函數(shù)y=fx(2)求函數(shù)y=f(x)fx?π417、（本小題滿分12分）在△ABC中,AB=2AC,∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D。(1)證明:BC=3CD;(2)若AD=AC,且△ABC的面積為67,求BC的長。18、（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足an(2Sn-an)=1(n∈N*)。(ⅰ)求證:數(shù)列{Sn2}是等差數(shù)列,并求出S(ⅱ)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1a19、（本小題滿分12分）如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,M是線段EF的中點(diǎn)。(1)求證:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論。高三數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C解析易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù),因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),即c>a>b。故選C。2、B解析由a為常數(shù)知(sina)'=0,A錯誤;(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,B正確;(3x)'=3xln3、A解析因?yàn)閠an2θ=-4tanθ+π4,即2tanθ1?tan2θ=?4×tanθ+11?tanθ,所以2tan2θ+5tanθ+2=0,解得tanθ=-12或tanθ=-2,又θ∈34π,π,4、D解析由射影定理,得b=acosC+ccosA,代入2acosC+b=2ccosA,得3acosC=ccosA,又c=3a,所以33cosA=cosC①,由c=3a及正弦定理,得3sinA=sinC②,①2+②2,可得13cos2A+3sin2A=1,即sinA=12,又由①得A∈0,π2,故A5、C解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則圓錐的母線長l=2r,圓柱的母線長等于圓錐的高h(yuǎn)=3r,記圓錐和圓柱的側(cè)面積分別為S1,S2,則S1S26、A解析取BD的中點(diǎn)為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交線為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,又OC?平面CBD,則AO⊥CO。設(shè)正方形的對角線長度為2,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以AB=(1,0,-1),CD=(-1,-1,0),cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|7、D解析直線的斜率為k=-cos300°sin300°=?cos(360°?60°)sin(360°?60°)=cos60°sin60°8、B解析簡單隨機(jī)抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,即40N=1%,解得N=4000。故選B二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、AB解析P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正確。?不是P中的元素,故C錯誤。因?yàn)?2?N,故D錯誤。故選AB。10、BCD解析函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)的定義域?yàn)?0,+∞),求導(dǎo)得f'(x)=ax?bx2?2cx3=ax2?bx?2cx3,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值,則函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點(diǎn),而a≠0,因此方程ax211、ABD解析對n=1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證,an=2sinnπ2不符合題意,其他均符合。故選三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、{x|-7<x<2}

解析2x+5x?2<1,即2x+5x?2-1<0,即x+7x?2<0,13、

3n+2【解析】由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以an-2=3n,所以an=3n+2。【答案】3n+214、

18解析因?yàn)镻,A,B,C四點(diǎn)共面,所以34+18+t=1,四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元,則x萬件商品銷售收入為5x萬元,依題意得,當(dāng)0<x<8時,L(x)=5x-13x2+x?3=?13x2+4x-3;當(dāng)x≥8時,L(x)=5x(2)當(dāng)0<x<8時,L(x)=-13(x-6)2+9。此時,當(dāng)x=6時,L(x)取得最大值,為9萬元。當(dāng)x≥8時,L(x)=35-x+100x≤35?2x·100x=35-20=15,當(dāng)且僅當(dāng)x=100x時等號成立,即x=10時,L(x)取得最大值,為15萬元。因?yàn)?<15,16、（本小題滿分12分）解(1)因?yàn)閒(x)=sinx+cosx,所以fx+π2=sinx+π2y=fx+π22=(cosx-sinx)2=1-sin2x。所以函數(shù)y=fx(2)fx?π4=sinx?π4+cosx?π4=2sinx,所以y=f(x)fx?π4=2sinx(sinx+cosx)=2(sinxcosx+sin2x)=212sin2x?12cos2x+12=sin2x?π4+17、（本小題滿分12分）解(1)證明:設(shè)∠BAD=α,∠BDA=β,則∠CAD=α,∠CDA=π-β。在△ABD和△ACD中分別運(yùn)用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACCD=sin(π?β)sinα,所以ABBD=ACCD,即(2)設(shè)AB=2AC=2t,所以AD=AC=t。由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得12·t·2t·sin2α=12·t·t·sinα+12·2t·t·sinα,所以4sinαcosα=3sinα。因?yàn)閟inα≠0,所以cosα=34,所以cos2α=2cos2α-1=18。又0<2α<π,所以sin2α=1?cos22α=378。所以S△ABC=67=12t·2t·sin2α=378t2,所以t2=16,故BC2=t2+418、（本小題滿分12分）解(ⅰ)證明:由an(2Sn-an)=1,得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1(n∈N*,n≥2),所以Sn2?Sn?12=1(n≥2,n∈N*)。又a1(2S1-a1)=a12=1,an>0,所以a1=1,S12=1。所以{Sn2}是以S12=1為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,所以(ⅱ)數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項(xiàng)ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n?n?1,因?yàn)楫?dāng)n=1時,a1=1,符合上式,所以an=n?n?1(n∈N*),所以1an=1n?n?1=n+n?1。假設(shè)數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2構(gòu)成等差數(shù)列,則2(k+1+k)=k+k?1+k+2+k+1,即k+1+k=k?1+k+2,兩邊同時平方,得k+1+k+2k+1·k=k?1+k+2+219、（本小題滿分12分）解(1)證明:如圖,記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE。因?yàn)镺,M分別為AC,EF的中點(diǎn),四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE。又因?yàn)镺E?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE。(2)l∥m。證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理得m∥AM,所以l∥m。高三數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C解析易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù),因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),即c>a>b。故選C。2、B解析由a為常數(shù)知(sina)'=0,A錯誤;(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,B正確;(3x)'=3xln3、A解析因?yàn)閠an2θ=-4tanθ+π4,即2tanθ1?tan2θ=?4×tanθ+11?tanθ,所以2tan2θ+5tanθ+2=0,解得tanθ=-12或tanθ=-2,又θ∈34π,π,4、D解析由射影定理,得b=acosC+ccosA,代入2acosC+b=2ccosA,得3acosC=ccosA,又c=3a,所以33cosA=cosC①,由c=3a及正弦定理,得3sinA=sinC②,①2+②2,可得13cos2A+3sin2A=1,即sinA=12,又由①得A∈0,π2,故A5、C解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則圓錐的母線長l=2r,圓柱的母線長等于圓錐的高h(yuǎn)=3r,記圓錐和圓柱的側(cè)面積分別為S1,S2,則S1S26、A解析取BD的中點(diǎn)為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交線為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,又OC?平面CBD,則AO⊥CO。設(shè)正方形的對角線長度為2,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以AB=(1,0,-1),CD=(-1,-1,0),cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|7、D解析直線的斜率為k=-cos300°sin300°=?cos(360°?60°)sin(360°?60°)=cos60°sin60°8、B解析簡單隨機(jī)抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,即40N=1%,解得N=4000。故選B二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、AB解析P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正確。?不是P中的元素,故C錯誤。因?yàn)?2?N,故D錯誤。故選AB。10、BCD解析函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)的定義域?yàn)?0,+∞),求導(dǎo)得f'(x)=ax?bx2?2cx3=ax2?bx?2cx3,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值,則函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點(diǎn),而a≠0,因此方程ax211、ABD解析對n=1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證,an=2sinnπ2不符合題意,其他均符合。故選三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、{x|-7<x<2}

解析2x+5x?2<1,即2x+5x?2-1<0,即x+7x?2<0,13、

3n+2【解析】由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以an-2=3n,所以an=3n+2。【答案】3n+214、

18解析因?yàn)镻,A,B,C四點(diǎn)共面,所以34+18+t=1,四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元,則x萬件商品銷售收入為5x萬元,依題意得,當(dāng)0<x<8時,L(x)=5x-13x2+x?3=?13x2+4x-3;當(dāng)x≥8時,L(x)=5x(2)當(dāng)0<x<8時,L(x)=-13(x-6)2+9。此時,當(dāng)x=6時,L(x)取得最大值,為9萬元。當(dāng)x≥8時,L(x)=35-x+100x≤35?2x·100x=35-20=15,當(dāng)且僅當(dāng)x=100x時等號成立,即x=10時,L(x)取得最大值,為15萬元。因?yàn)?<15,16、（本小題滿分12分）解(1)因?yàn)閒(x)=sinx+cosx,所以fx+π2=sinx+π2y=fx+π22=(cosx-sinx)2=1-sin2x。所以函數(shù)y=fx(2)fx?π4=sinx?π4+cosx?π4=2sinx,所以y=f(x)fx?π4=2sinx(sinx+cosx)=2(sinxcosx+sin2x)=212sin2x?12cos2x+12=sin2x?π4+17、（本小題滿分12分）解(1)證明:設(shè)∠BAD=α,∠BDA=β,則∠CAD=α,∠CDA=π-β。在△ABD和△ACD中分別運(yùn)用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACCD=sin(π?β)sinα,所以ABBD=ACCD,即(2)設(shè)AB=2AC=2t,所以AD=AC=t。由S△AB