第07講 第六章 計數原理 章節驗收測評卷（解析版）

第07講第六章計數原理章節驗收測評卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）（

）A．110 B．98 C．124 D．148【答案】A【詳解】.故選：A.2．（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）從4名男生與3名女生中選兩人去參加一場數學競賽，則男女各一人的不同的選派方法數為（

）A．7 B．12 C．18 D．24【答案】B【詳解】從4名男生與3名女生中選兩人，其中男女各一人，由分步計數原理，可得不同的選派方法數為種.故選：B.3．（2024上·全國·高三專題練習）在的展開式中，含的項的系數為（

）A．12 B．－12 C．－2 D．2【答案】B【詳解】，令得，∴．故選：B4．（2024·四川內江·統考一模）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種【答案】B【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有種，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗共有種.故選：B5．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）二項式的展開式中常數項為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】二項式的通項公式為，令，所以常數項為，故選：A6．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，將四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數為（

）

A．120 B．96 C．72 D．48【答案】C【詳解】由題意知，與任意一點均不同色.只用3種顏色，即同色，且同色，此時不同染色方法的種數為；用4種顏色，此時可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為；若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為.根據分類加法計數原理可得，不同染色方法的種數為.故選：C.7．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中校考期末）則（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】令，可得，令，可得，故，即，故選：B8．（2024下·全國·高二隨堂練習）某中學進行數學競賽選拔考試，，，，，共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結果，教練對說：“你和都沒有得到冠軍．”對說：“你不是最后一名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種【答案】A【詳解】根據題意可知和都沒有得到冠軍，且不是最后一名，分兩種情況：①是最后一名，則可以為第二、三、四名，即有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有種.故選A．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023下·山西運城·高二統考期中）若，則的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【詳解】因為，所以或，解得或8.故選：BC10．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習）若，其中為實數，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】令可得，A正確.，其展開式的第三項是，所以，B不正確.令可得，所以，D不正確.令可得，與相減可得，C正確.故選：AC11．（2023下·重慶·高二校考期中）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．則下列命題中正確的是（

）

A．在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數是84B．由“第行所有數之和為”猜想：C．在“楊輝三角”中，當時，從第1行起，每一行的第2列的數字之和為66D．在“楊輝三角”中，第3行所有數字的平方和恰好是第6行的中間一項的數字【答案】ABD【詳解】楊輝三角對應的是展開式的二項式系數，A選項，對于，從左到右第7個數是，A選項正確.B選項，展開式的二項式系數和，B選項正確.C選項，當時，，所以C選項錯誤.D選項，第3行所有數字的平方和為，展開式中間一項的二項式系數為，所以D選項正確.故選：ABD12．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中學校考階段練習）某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環下去．某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處，則（

）A．三次骰子后所走的步數可以是12 B．三次骰子的點數之和只可能有兩種結果C．三次股子的點數之和超過10的走法有6種 D．回到點處的所有不同走法共有27種【答案】BCD【詳解】A、B：由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是8，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數之和是，故A錯誤，B正確；C、D：列舉出在點數中三個數字能夠使得和為的有，共有7種組合，前2種組合，每種情況可以排列出種結果，共有種結果；各有3種結果，共有種結果，其中點數之和超過10的走法為，共有種，故C正確；根據分類計數原理知共有種結果，故D正確；故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023下·上海長寧·高二上海市延安中學校考期末）已知正方形ABCD的中心為點O，以A、B、C、D、O中三個點為頂點的三角形共有個.【答案】8【詳解】根據題意，如圖：

在A、B、C、D、O中，任取3個點，有種取法，其中不能構成三角形的有AOC和BOD兩種取法，則以A、B、C、D、O中三個點為頂點的三角形共有個．故答案為：8．14．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期中）已知，且能被17整除，則的取值可以是.（寫出一個滿足題意的即可）【答案】1（答案不唯一）【詳解】，要使能被17整除，則能被17整除即可，則，故可取，故答案為：15．（2023上·河南駐馬店·高二校聯考期末）已知，則關于的方程有實數解的有序數對的個數為.【答案】12【詳解】①當時，取范圍內任一實數均有實數解，此時有4對；②當時，有解則滿足，即，當時，可取的值有、0、2、3，當時，可取的值有、0，當時，可取的值有、0，共有12對.故答案為：12.16．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）二進制數是用0和1表示的數，它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，二制數對應的十進制數記為，即，其中，，則在，，，…，中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的總和為（用數字作答）將五個數20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一個7位數，則能產生不同的7位數的個數是（用數字作答）【答案】50675【詳解】根據題意得，因為在中恰好有2個0的有種可能，即所有符合條件的二進制數的個數為10．所以所有二進制數對應的十進制數的和中，出現次，，…，，均出現次，所以滿足中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的和為.先選擇一個非0數排在首位，剩余數全排列，共有種，其中2和0排在一起形成20和原來的20有重復，考慮2和0相鄰時，且2在0的左邊，共有種排法，其中一半是重復的，故此時有12種重復.其中2和3排在一起形成23和原來的23有重復，考慮2和3相鄰時，且2在3的左邊，共有種排法，其中一半是重復的，故此時有9種重復.故共有種.故答案為：506；75．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）（1）解關于x的不等式．（2）求等式中的n值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程變形為，即，顯然，因此，化簡整理，得，而，解得，所以.18．（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期中）男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現選派5人外出參加比賽.(1)隊長中至少有1人參加，有多少種選派方法?(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式?【答案】(1)196(2)7560【詳解】（1）由題意，男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.選派5人，若沒有隊長，則有種選派方法，若隨機選擇，則有種選派方法，∴隊長中至少有1人參加，有種方法.（2）由題意，男運動員6名，女運動員4名，選派5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，∴選擇的人是隨機的，有種情況，若人坐同一個車中，有種情況，若人隨機坐，有種情況，∴從人中選5人，且坐在輛不同的車中，有種情況.19．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校校考階段練習）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)－2(2)1093(3)2187【詳解】（1）當時，；當時，；故；（2）當時，；由（1）知，所以；（3）由展開式可知均為負值，均為正值，結合（1）（2）可知，故.20．（2023上·黑龍江雞西·高二密山市第一中學校聯考期末）已知的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中所有的有理項.【答案】(1)；(2)，，.【詳解】（1）展開式中第項為，所以前三項系數的絕對值依次為，依題意有，，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數的性質可知，展開式中第5項的二項式系數最大，即.（2）由（1）知，，又，由可得，故展開式中的有理項為：，，.21．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學校考階段練習）（1）6名同學（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個場館做志愿者.（i）一天上午有16個相同的口罩全部發給這6名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？（ii）每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個場館，、不想去一個場館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？（2）某校選派4名干部到兩個街道服務，每人只能去一個街道，每個街道至少1人，有多少種方法？（結果用數字表示）（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數？（結果用數字表示）【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60【詳解】（1）（i）16個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，所以不同的發放方法種；（ii）把，視為一人，相當于把5個人先分成三組，再分配給三個場館，分組方法有兩類：第一類1，1，3，去掉，在一組的情況，有種分組方法，再分配給三個場館，有種方法，第二類1，2，2，去掉，在一組的情況，有種分組方法，再分配給三個場館，有種方法，所以不同的安排方法有種方法；（2）把4名干部按分成兩組，有種分組方法，按分成兩組，有種分組方法，所以4名干部按要求分到兩個街道的不同方法數是（種）；（3）依題意，6串香蕉任意收取有種方法，其中中間一列按從下往上有1種，占，最右一列按從下往上只有1種，占，所以不同取法數是（種）.22．（2023下