分式與分式方程壓軸題（5個類型50題）-【常考壓軸題】2023-2024學年八年級數學下冊壓軸題攻略（解析版）

第五章分式與分式方程壓軸題內容導航一、分式類型一、分式性質的應用類型二、分式的運算二、分式方程類型三、解分式方程類型四、分式方程無解和增根問題類型五、分式方程的應用題一、分式類型一、分式性質的應用1．已知兩個分式：，；將這兩個分式進行如下操作：第一次操作：將這兩個分式作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結果記為：作差，結果記為；（即，）第三次操作：將，作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結論：．①；②當時，；③若，則；④在第n（n為正整數）次和第次操作的結果中：為定值：⑤在第2n（n為正整數）次操作的結果中：，；以上結論正確的個數有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通過計算確定第2n個式子的變化規(guī)律和第2n-1個式子的變化規(guī)律，然后確定一般形式，進行判定即可．【詳解】解：，，，，，，，，……當2n-1為奇數時（1除外），，，當2n為偶數時，，，∵，故①正確；當x=1時，M2+M4+M6+M8==30，故②錯誤；，解得x=1或-2，故③錯誤；當n=2k-2時，=x，x不是定值，故④錯誤；由規(guī)律知，⑤正確；故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡以及探究式子的規(guī)律，解決問題的關鍵是確定式子的變化規(guī)律．2．已知，一次函數的圖象過點，則一次函數的解析式是．【答案】/【分析】本題考查了分式的定義，待定系數法求一次函數解析式等知識．根據得到，，，求出．結合一次函數的圖象過點，即可求出一次函數解析式．【詳解】解：∵，∴，，，得，∵，∴．∵一次函數的圖象過點，∴，∴，∴一次函數的解析式為．故答案為：．3．已知都為正數，，，，，，，則．【答案】【分析】本題考查了等式的性質，分式求值，代數式求值．運用整體的思想是解題的關鍵．將每個等式的左右兩邊相乘得，，解得，由，解得，同理可得，，，，，，然后代入求解即可．【詳解】解：將每個等式的左右兩邊相乘得，，即，∵都為正數，∴，∵，解得，同理可得，，，，，，∴，故答案為：．4．某知名服裝品牌在北碚共有、、三個實體店．由于疫情的影響，第一季度、、三店的營業(yè)額之比為，隨著疫情得到有效的控制和緩解，預計第二季度這三個店的總營業(yè)額會增加，其中店增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的，第二季度店的營業(yè)額占總營業(yè)額的，為了使店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，則第二季度店增加的營業(yè)額與第二季度總營業(yè)額的比值為．【答案】【分析】設第一季度營業(yè)額為，第二季度營業(yè)額為，則總共增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，第二季度店的營業(yè)額為，則第一季度店的營業(yè)額為；店的營業(yè)額為；第二季度店與店的營業(yè)額之和為，若店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，則第二季度店營業(yè)額為，店營業(yè)額為；第二季度店增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，依此可得，進一步即可求解．【詳解】解：設第一季度營業(yè)額為，第二季度營業(yè)額為，則總共增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，第二季度店的營業(yè)額為，∵第一季度、、三店的營業(yè)額之比為，∴第一季度店的營業(yè)額為，店的營業(yè)額為，第二季度店與店的營業(yè)額之和為，若店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，∴第二季度店營業(yè)額為，店營業(yè)額為，∵第二季度店增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，依題意得：，∴，∴第二季度店增加的營業(yè)額與第二季度總營業(yè)額的比值為：．故答案為：．【點睛】本題考查應用類問題，列代數式，分式的基本性質，求分式的值．理解題意，找到正確的等量關系是本題的關鍵．5．已知．即當為于1的奇數時，；當為大于1的偶數時，．計算的結果為．【答案】【分析】先找到規(guī)律的值每6個一循環(huán)，再求出，由，可得．【詳解】解：，，，，，，，…，∴的值每6個一循環(huán)，∵，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型中數字的變化類，根據數值的變化找出的值，每6個一循環(huán)是解題的關鍵．6．已知正整數x，y滿足，則符合條件的x，y的值有組．【答案】2【分析】根據x，y均為正整數，可知、，據此建立不等式并求解可知，結合，可確定可知符合條件的x的值，然后根據確定與之對應的y的值，即可確定符合條件的x，y的值的組數．【詳解】解：∵x，y均為正整數，∴，，∴，∴，解得，結合，可知符合條件的x的值為：1、2、3、4、5、6、7、8、9，對應的y的值為：9、、、、、、、、，∴符合條件的x、y的值為，，∴符合條件的x，y的值有2組．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了使分式值為整數時未知數的整數值以及一元一次不等式的應用，根據題意建立不等式并求解是解題關鍵．7．下列結論：①在平面直角坐標系中，點（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意義，則x的取值范圍是x≠3且x≠0；③若分式的值為0，則x的值為±3；④分式的值為整數，則整數x的值有6個；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，則整數x的值是3或1或﹣5，其中錯誤的有．（填序號）【答案】①②③④⑤【分析】①根據象限點的坐標特征判斷即可；②根據分母不為0，除式不為0，確定出所求即可；③根據分式值為0的條件：分母不為0，分子為0，判斷即可；④分式變形后，根據分式值為整數，確定出整數x的值，判斷即可；⑤根據底數為1或﹣1，指數為0三種情況判斷即可．【詳解】解：①在平面直角坐標系中，點（﹣1，5）在第二象限，符合題意；②若÷有意義，則x的取值范圍是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合題意；③若分式的值為0，則x的值為3，符合題意；④分式＝＝3+的值為整數，則整數x的值有2個，符合題意；⑤若已知＝1，則整數x的值為3或1或5，符合題意，則錯誤的有①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．【點睛】本題考查分式的取值以及冪的性質，掌握分式的基本性質以及負整數指數冪和零指數冪是解決問題的關鍵，注意1的任何次方、任何一個不為0的數的零指數冪、-1的偶數次方都是1．8．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數量變化關系，小力制作了表格，并得到如下數據：…01234……無意義1…從表格數據觀察，當時，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當時，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數小于分母的次數，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數大于或等于分母的次數，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：根據上述材料完成下列問題：(1)當時，隨著的增大，的值(增大或減小)；當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當時，隨著的增大，的值無限接近一個數，請求出這個數；(3)當時，直接寫出代數式值的取值范圍是．【答案】(1)減小，減小(2)當時，無限接近于2(3)【分析】（1）根據的變化情況，判斷、值得變化情況即可；（2）根據材料由即可求解；（3）由，配合即可求解．【詳解】（1）解：∵當時，隨著的增大，的值隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減小；∵當時，隨著的增大，的值也隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減小，故答案為：減小；減小；（2）解：∵∵當時，的值無限接近于0，∴當時，無限接近于2；（3）解：，∵，∴，∴，∴，即∴，故答案為：【點睛】本題考查分式的性質，熟練掌握分式的基本性質，理解題中的變量分離的方法是解題的關鍵．類型二、分式性質的運算9．一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰(zhàn)士要與最前面的團長聯系，他用t1分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是（）A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】根據題意得到隊伍的速度為，隊尾戰(zhàn)士的速度為，可以得到他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是，化簡即可求解【詳解】解：由題意得：分鐘．故選：C【點睛】本題考查了根據題意列分式計算，理解題意正確列出分式是解題關鍵．10．今年是脫貧攻堅關鍵年，大學生小趙利用電商平臺幫助家鄉(xiāng)售賣當地土特產。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的銷售量之比為2：3：5，隨著“雙十一”的到來，預計11月份總銷售量會大幅增加，其中核桃增加的銷售量占三種特產總增加的銷售量的，且核桃的銷售量將達到11月份三種特產總銷售量的，為使葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為3：4，則11月份葡萄干還需增加的銷售量與11月份總銷售量之比是.【答案】【分析】設10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的總銷售量為，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的總銷售量為，先根據核桃增加的銷售量建立等式可求出，再根據“葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為”求出11月份葡萄干的銷售量，從而可得11月份葡萄干還需增加的銷售量，由此即可得．【詳解】設10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的總銷售量為，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的總銷售量為，則10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的銷售量依次為，11月份三種特產總增加的銷售量為，11月份核桃增加的銷售量為，11月份核桃的銷售量為，因此有，整理得：，當葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為時，11月份葡萄干的銷售量為，則11月份葡萄干還需增加的銷售量與11月份總銷售量之比是，故答案為：．【點睛】本題考查了列代數式的應用、分式的應用，依據題意，正確求出11月份總銷售量與10月份總銷售量的關系是解題關鍵．11．6月18日晚，蘇寧易購發(fā)布618全程戰(zhàn)報：從6月1日到18日晚6點，蘇寧依托線上線下全場景優(yōu)勢，逆勢增長.經調查，蘇寧易購線上有甲乙兩家在銷售華為A手機、華為B電腦和華為C耳機.已知每部A手機的利潤率為40%，每臺B電腦的利潤率為60%，每副C耳機的利潤率為30%，甲商家售出的B電腦和C耳機的數量都是A手機的數量的一半，獲得的總利潤為50%，乙商家售出的A手機的數量是B電腦的數量的一半，售出的C耳機的數量是B電腦的數量的，則乙商家獲得的總利潤率是.【答案】56%【分析】設A手機的成本價為a，B電腦的成本價為b，C耳機的成本價為c，甲商家售出A手機2x部，則售出B電腦x臺，C耳機x副，乙商家售出A手機y部，則售出B電腦2y臺，C耳機副，根據甲商家的數據可得b=2a+2c，繼而根據利潤率公式列式計算乙商家的即可得.【詳解】設A手機的成本價為a，B電腦的成本價為b，C耳機的成本價為c，甲商家售出A手機2x部，則售出B電腦x臺，C耳機x副，乙商家售出A手機y部，則售出B電腦2y臺，C耳機副，由甲商家的總利潤為50%，則有40%?a?2x+60%?b?x+30%?c?x=50%(2xa+bx+cx)，整理得，b=2a+2c，則乙商家的總利潤率為：=====56%，故答案為56%.【點睛】本題考查了銷售問題——商品的利潤率，弄清題意，理清各量間的關系，掌握運算技巧是解題的關鍵.12．設a、b、c是互不相等的實數，且，則．【答案】【分析】本題考查分式的化簡求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，∴．故答案為：．13．對于一個兩位數，，記，將m的十位數字與個位數字的和、十位數字與個位數字的差分別作為的十位數字和個位數字，新形成的兩位數叫做m的伴生和差數，把m放置于十位數字與個位數字之間，就可以得到一個新的四位數M，最小的M為，若M能被7整除，則的最小值為.【答案】1001/0.5【分析】本題為新定義問題，考查了整式的加減，分數加減的逆用等知識，根據題意用、寫出四位數的表達式，根據、的范圍，可得最小的，因為能被7整除，所以可知和的取值，即得的最小值．【詳解】解：∵兩位數的十位數字是，個位數字是，兩位數的十位數字是，個位數字是，四位數，∴當，時，最小，，∵能被7整除，，，時，，，時，，，時，，，時，，由題意得，，∴最小，即最小，，時，．故答案為：1101，14．若，求的值【答案】【分析】設，從而得x=3k，y=4k，z=5k；通過整式和分式的運算性質計算，即可得到答案．【詳解】設，∴x=3k，y=4k，z=5k∴===．【點睛】本題考查了整式、分式運算的知識；解題的關鍵是熟練掌握整式、分式運算的性質，從而完成求解．15．將克糖放入水中，得到克糖水，此時糖水的濃度為．(1)再往杯中加入克糖，生活經驗告訴我們糖水變甜了，用數學關系式可以表示為______；(2)請證明（1）中的數學關系式；(3)在中，三條邊的長度分別為，證明：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據濃度公式代入以及變甜了判斷所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化簡通過判斷結果的正負即可；（3）利用三角形的三邊關系得到，，，即，，，在通過本題糖水不等式變形求證即可．【詳解】（1）解：由題意得：加入克糖后糖水濃度為：，由糖水變甜可知：，故答案為：（2）解：利用作差法比較大小：．∵，，∴，，即，∴，即．（3）解：在中，，，，且，∴，，．由糖水不等式得，，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查分式的運算及大小比較，理解不等式并能夠利用糖水不等式以及三角形三邊關系證明是解決本題的關鍵．16．設n為正整數，且，，…．(1)求證：；(2)若，求正整數a，b的值．【答案】(1)見解析(2)或或或【分析】本題考查分式的化簡，整數解．（1）運用分式的運算法則計算即可；（2）由（1）可得：，，從而．設，，上式可變形為，即，根據a，b，s，t為正整數可知為正整數可得t的值，即可解答．【詳解】（1）（2）由（1）可得：，，∵∴，設，，則，即，故，由a，b為正整數可知s，t為正整數，則為整數，∴或或或，∴或或或，則或或或．17．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計算結果，根據你發(fā)現的規(guī)律直接寫下面的空格：________；(2)用數學的整體思想方法，設，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數，且，化簡求的值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據所給的三個等式歸納規(guī)律解答即可；（2）利用得出的規(guī)律，運用平方差公式進行分解因式；（3）根據（2）中的規(guī)律，當m=2時，得出a，b，c，d的值，再進行化簡求值．【詳解】（1）解：根據題意，由所給的三個等式，可歸納出：；故答案為：；（2）解：由（1）可知，∴，設（），∴∵，∴；（3）解：由（2）可知，當時，則，∵，∴，∵a、b、c、d都是正整數，且a＞b＞c＞d；∴a=17，b=5，c=3，d=1；∵，當a=17，b=5，c=3，d=1；∴原式；【點睛】本題考查了用平方差公式進行因式分解，分式的化簡，根據所給的等式歸納出規(guī)律是解答本題的關鍵．18．若三個非零實數、、滿足：若其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數、構成“青一三數組”，例如：因為、、的倒數能夠滿足，所以數組、、構成“青一三數組”．(1)下列三組數構成“青一三數組”的有________；（填序號）①1、2、3；②1、、；③、、．(2)若、、構成“青一三數組”，求實數的值；(3)若非零實數、、構成“青一三數組”，且滿足以下三個條件：①；②點到原點的距離記為；③不等式恒成立．求實數的取值范圍．【答案】(1)②③(2)或或；(3)無【分析】此題考查了新定義問題，二次根式及分式的運算，分類討論思想是解決此題的關鍵．（1）根據“青一三數組”的定義挨個求出倒數，再求其中一個數的倒數是否等于另外兩個數的倒數的和，如果有一個滿足題意即為“青一三數組”；（2）倒數為，的倒數為，的倒數為，由、、構成“青一三數組”，分三種情況進行討論求解即可；（3）由，可得，再由點到原點的距離記為，可得，再求解即可．【詳解】（1）解：①，，，1、2、3不能構成“青一三數組”；②，1、、能構成“青一三數組”；③的倒數為，的倒數為，的倒數為，，、、能構成“青一三數組”；三組數中構成“青一三數組”的有②③，故答案為：②③；（2）解：倒數為，的倒數為，的倒數為，、、構成“青一三數組”，①當時，解得：；②當時，解得：；③當時，解得：；綜上可知，實數的值為或或；（3）解：，，點到原點的距離記為，19．用數學的眼光觀察：同學們，在學習中，你會發(fā)現“”與“”有著緊密的聯系，請你認真觀察等式：，．用數學的思維思考并解決如下問題：(1)填空：______；(2)計算：①若，求的值；②若，求的值；③已知，求的值．【答案】(1)4(2)①；②；③的值為【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，求一個數的平方根，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．（1）根據題干提供的信息，利用完全平方公式進行計算即可；（2）①先利用完全平方公式變形求出，然后求出的值即可；②先將兩邊都除以，得，然后求出，再求出結果即可；③分兩種情況：當時，當時，求出結果即可．【詳解】（1）解：；故答案為：4．（2）解：①∵，∴．②將兩邊都除以，得．∴，∴．③當時，此時，則，得，∵，∴．∵，∴；∴，當時，此時，則，得，∵，故舍去．綜上，的值為．20．閱讀下面材料并解決有關問題：（一）由于，所以，即，并且當時，；對于兩個非負實數，，由于所以，即，所以，并且當時，；（二）分式和分數有著很多的相似點，如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質．小學里，把分子比分母小的數叫做真分數，類似的，我們把分子的次數小于分母的次數的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；(2)已知：，求代數式的值；(3)當為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）【答案】(1)①②④(2)(3)時，有最小值，最小值為3【分析】本題為新定義問題，創(chuàng)新題，考查了分式的計算，二次根式的變形，完全平方公式的應用等知識，理解題目中的相關材料，并根據題意靈活應用是解題關鍵．（1）根據真分式、假分式的定義逐項判斷即可求解；（2）先根據，得到，進而得到，即可得到，利用倒數的定義即可求出；（3）先求出，再將變形為根據（一）結論得到，即可求出當且僅當，即時，有最小值，最小值為3．【詳解】（1）解：①是假分式，符合題意；②是假分式，符合題意；③是真分式，不合題意；④是假分式，符合題意．故答案為：①②④．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意，，∴．原式．當且僅當，即時，等號成立．∴原式的最小值為3．21．請根據閱讀材料利用整體思想解答下列問題：例1：分解因式；解：將“”看成一個整體，令；原式；例2：已知，求的值．解：；(1)根據材料，請你模仿例1嘗試對多項式進行因式分解；(2)計算：．(3)①已知，求的值；②若，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)1；5【分析】（1）將“”看成一個整體，模仿例1求解；（2）令，，將原式變形，即可求解；（3）將中的1用替代，即可求解；將代入將原式變形為，再將代入，進一步將原式變形為，由此可解．【詳解】（1）解：令，；（2）解：令，，則原式，故答案為：；（3）解：，；，．【點睛】本題考查整體思想，因式分解，完全平方公式，整式的運算，分式的運算，解題的關鍵是掌握整體思想，看懂例題．二、分式方程類型三、解分式方程22．若關于的不等式組無解，且關于的分式方程有正整數解，則滿足條件的所有整數的和為．【答案】【分析】本題考查了解不等式組和分式方程，先根據不等式組的解的情況得出的取值范圍，再根據分式方程的解為正整數解進一步得出的值，即可得出答案．熟練掌握它們的解的情況是解題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，關于的不等式組無解，，解得，，方程可化為，方程兩邊同乘得，，解得，是正整數，，或或或，當時，，分式方程無解，舍去，或或，滿足條件的所有整數的和為，故答案為：．23．若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數m的值的和是．【答案】【分析】先解一元一次不等式組，根據解集為得到m的取值范圍；再解分式方程，根據解是非負正數解且不是增根得到m的最終范圍，然后再確定在這個范圍內能使y是整數的m的值，最后求和即可．【詳解】解：關于x的不等式組整理得到：，∵不等式組的解集為，∴；分式方程兩邊都乘以得：，即．∵y有非負解且，∴且，解得：且．∴且，∴整數m為：它們的和為．故答案為：．【點睛】本題主要考查解分式方程、解一元一次不等式組等知識，熟練掌握分式方程、一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．24．若關于x的一元一次不等式組至少有2個整數解，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之積是．【答案】【分析】先解不等式組，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程有正整數解，確定出的值，相乘即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，則根據題意可知，不等式組的解集為：，關于的一元一次不等式組至少有2個整數解，則該不等式的整數解至少包含：，，，解得：，分式方程去分母得：，解得：，∵，∴，是正整數，且，∴或，或，滿足條件的整數的積為，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟以及解分式方程的步驟是解題關鍵．25．若關于x的一元一次不等式組有且僅有4個整數解，且關于y的分式方程的解是非負整數，則滿足條件的所有整數a的值之積為．【答案】【分析】不等式組變形后，根據有且僅有4個整數解確定出的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有整數解，確定出滿足條件的值．【詳解】解：解不等式組，得，不等式組有且僅有4個整數解，，．解分式方程，得，為非負整數，∴為偶數，且，所有滿足條件的只有，2，4∴所有整數a的值之積．故答案為：．【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．26．若關于的不等式組有且僅有4個整數解，且關于的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數的值之和是．【答案】4【分析】本題考查解不等式組和解分式方程，先解不等式組，解得取的整數，再解分式方程，根據分式方程的解，確定的取值范圍，最后綜合兩個的取值范圍，即可解題．【詳解】解：整理得，不等式組有且僅有4個整數解，，整理得，又，，，整理得，關于的分式方程有非負整數解，有，解得，即，故，，整理得，且為2的倍數，為整數，綜上所述，可取，，則所有滿足條件的整數的值之和是，故答案為：4．27．關于x的一元一次不等式組的解集為，關于y的分式方程有負整數解，試求出符合條件的所有整數m的值．【答案】或/或【分析】本題主要考查解一元一次不等式組、解分式方程等知識點，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程是解題的關鍵．先解關于x的一元一次不等式組的解集是,可得．再解關于y的分式方程可得，因為該分式方程有非負整數解，據此推斷出整數m的值即可．【詳解】解：由，得，∵關于x的一元一次不等式組的解集是,∴，分式方程，∴,∴，又∵關于y的分式方程有負整數解且m為整數，∴且，∴且，∴且，∵為負整數，∴符合條件的m的值為或．28．關于的分式方程的解為整數，且關于的不等式組有解且最多有六個整數解，則所有滿足條件的整數的值之和為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式組的整數解，由分式方程得，由一元一次不等式組得，根據不等式組有解且最多有六個整數解，即可得到，再由為整數，即可得到的值，正確掌握解一元一次不等式組和解分式方程得方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，由得，∵不等式組有解且最多有六個整數解，∴，∵為整數，∴或或，又∵，∴，∴，∴或，∴所有滿足條件的整數的值之和，故答案為：．29．閱讀材料，下列關于的方程：的解為：，；

的解為：，；的解為：，；

的解為：，；根據這些材料解決下列問題：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）根據所給材料的解題方法即可求解；（2）根據材料中方程的解法求解即可；（3）先將方程化為，再利用材料中的解法求解即可．【詳解】（1）解：方程的解為，故答案為：，（2）由方程可得或，解得，，故答案為：，（3）將方程變形為，可得或，解得，【點睛】此題考查了解分式方程，解題的關鍵是將方程化為的形式求解．30．仔細觀察下面的變形規(guī)律：，，，……解答下面的問題：(1)總結規(guī)律：已知為正整數，請將和寫成上面式子的形式；(2)類比發(fā)現：計算與的結果；(3)知識遷移：解關于（為正整數）的分式方程：；(4)規(guī)律應用：化簡．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）根據題目中的規(guī)律，寫出結果即可；（2）利用解析（1）中得出的規(guī)律進行計算即可；（3）先化簡方程左邊的式子，然后解分式方程即可；（4）利用解析（1）中的規(guī)律進行變形計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，……∴，；（2）解：；．（3）解：方程變?yōu)椋矗海シ帜傅茫海獾茫海瑱z驗：因為為正整數，原方程分母不會為零；所以原方程的根式．（4）解：．【點睛】本題主要考查了有理數的規(guī)律題，解分式方程，解題的關鍵是根據題意找出題目中的規(guī)律，注意解分式方程要進行檢驗．31．對于兩個不相等的非零實數m、n，分式的值為零，則或，又因為，所以關于x的方程有兩個解，分別為，．應用上面的結論解答下列問題：(1)方程有兩個解，分別為________，________；(2)關于x的方程的兩個解分別為，，若與互為倒數且，則________，________；(3)關于x的方程的兩個解分別為，（），求的值．【答案】(1)1，6(2)，2(3)【分析】（1）方程變形后，利用題中的結論確定出方程的解即可；（2）方程變形后，根據利用題中的結論，以及與互為倒數，確定出與的值即可；（3）方程變形后，根據利用題中的結論表示出為、，代入原式計算即可得到結果．【詳解】（1）解：∵，，∴方程有兩個解，分別為，故答案為：1，6；（2）解：，方程變形得：由題中的結論得：有兩個解，分別為，2，∵與互為倒數，∴，故答案為：，2；（3）解：，方程整理得，得或可得，．∴．【點睛】此題考查了分式方程的解，掌握分式的性質，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．類型四、分式方程無解和增根問題32．若關于的分式方程無解，則的值為．【答案】10或或3【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：（1）為原方程的增根，此時有，即，解得；（2）為原方程的增根，此時有，即，解得．（3）方程兩邊都乘，得，化簡得：．當時，整式方程無解．綜上所述，當或或時，原方程無解．故答案為：10或或3．【點睛】本題考查的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．33．若關于x的分式方程無解，則．【答案】2【分析】先去分母，將原方程化為整式方程，根據一元一次方程無解的條件看能否得出一類a值，再根據分式方程無解的條件看能否得出另外一類a值即可．【詳解】解：，去分母得：，整理得：，由于此方程未知數的系數是1不為0，故無論a取何值時，都有解，故此情形下無符合題意的a值；由分式方程無解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2把x＝2代入，解得：a＝2，故此情形下符合題意的a值為2；綜上，若要關于x的分式方程無解，a的值為2．故答案為：2．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程及整式方程無解的條件是解題的關鍵．34．有下列說法：①不論k取何實數，多項式x2﹣ky2總能分解能兩個一次因式積的形式；②關于x的分式方程無解，則m＝1；③關于x、y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得到一個新的方程，其中，當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，則這個公共解為，其中正確的是．（填序號）【答案】②③【分析】分別運用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程組的方法，可作出判斷．【詳解】解：①當k為負值時，多項式x2﹣ky2不能分解能兩個一次因式積的形式，故①不正確；②將關于x的分式方程兩邊同時乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝，∵原分式方程無解，∴x＝2，∴＝2，解得m＝1，故②正確；③將所給方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴，解得：則當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，則這個公共解為，故③正確．綜上，正確答案為：②③．【點睛】本題考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程組的解，解題關鍵是理解題意，遵循題意按照相應的解題方法準確進行計算．35．對于平面直角坐?系中的點，若點的坐標為（其中為常數，且），則稱點為點的“之立信點”．例如：的“2之立信點”為，即．(1)點的“3之立信點”的坐標為________．(2)若點在軸的正半軸上，點的“之立信點”為點，且為等腰直角三角形，求的值；(3)在（2）的條件下，若關于的分式方程無解，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）根據點為點P的“之立信點”的定義計算；（2）根據x軸的正半軸上點的特征、點為點P的“之立信點”的定義計算；（3）根據分式方程的解法、分式方程無解的概念，分情況計算．【詳解】（1）解：當時，，∴點的“3之立信點”的坐標為，故答案為：；（2）∵點P在x軸的正半軸上，．∴點P的坐標為，∵點P的“k之立信點”為點，∴點的坐標為，時，為等腰直角三角形，，，．故答案為：1；（3）當時，去分母整理得：，∵原方程無解，∴①，即，②，即，則，；；綜上所述，或．【點睛】本題考查的是三角形的綜合題，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程無解的判斷，掌握點為點P的“k之立信點”的定義、分式方程的解法是解題的關鍵．36．已知，關于x的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數，當分式方程的解為整數時，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【分析】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數和b為正整數確定b的取值．【詳解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，檢驗：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，①當時，即，原分式方程無解；②當時，得，Ⅰ.時，原分式方程無解，即時，此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即時，此時b=5；綜上所述，時，分式方程無解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，，解得：，∵b為正整數，x為整數，∴10+b必為195的因數，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數，對應地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應舍去，對應地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數．【點睛】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點掌握．37．閱讀下列材料：在學習“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關于的分式方程的解為正數，求的取值范圍．經過獨立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個關于的方程，得到方程的解為，由題目可得，所以，問題解決．小聰說：你考慮的不全面，還必須保證才行．(1)請回答：的說法是正確的，正確的理由是．完成下列問題：(2)已知關于的方程的解為非負數，求的取值范圍；(3)若關于的方程無解，求的值．【答案】(1)小聰，分式的分母不能為0；(2)且；(3)或．【分析】（1）根據分式有意義的條件：分母不能為0，即可知道小聰說得對；（2）首先按照解分式方程的步驟得到方程的解，再利用解是非負數即可求出的取值范圍；（3）按照解分式方程的步驟去分母得到整式方程，若分式方程無解，則得到增根或者整式方程無解，即可求出的范圍．【詳解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母為0∴小聰說得對，分式的分母不能為0．（2）解：原方程可化為去分母得：解得：∵解為非負數∴，即又∵∴，即∴且（3）解：去分母得：解得：∵原方程無解∴或者①當時，得：②當時，，得：綜上：當或時原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程以及根據分式方程的解確定參數范圍，重點要掌握解分式方程的步驟：去分母化成整式方程；再解整式方程；驗根．理解當分式方程無解時包含整式方程無解和有曾根兩種情況．38．增根是在分式方程轉化為整式方程的過程中產生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時，方程有增根．探究2：m為何值時，方程的根是．探究3：任意寫出三個m的值，使對應的方程的三個根中兩個根之和等于第三個根；探究4：你發(fā)現滿足“探究3”條件的的關系是______．【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：【分析】解分式方程，根據方程有增根求得m的值即可，根據規(guī)律即可得出結論．第三問設方程的三根為且，再求得對應的m．即可得出它們之間的關系．【詳解】解：探究1：方程兩邊都乘，得∵原方程有增根，∴最簡公分母，解得，當時，，故m的值是．探究2：方程兩邊都乘，得∵原方程的根為，，探究3：由（1）（2）得，方程的三個對應根為且，∴，=15-8b，探究4：，，整理得，故答案為．【點睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程，準確判定方程的增根是解題的關鍵．類型五、分式方程的應用題39．現有若干防疫口罩，疫情防控人員計劃將這些口罩分為兩批，分別在兩周內分發(fā)完畢．第一周將第一批口罩數量按照1：3：4的比例分發(fā)給、、三個小區(qū)且全部分完．第二周先拿出第二批口罩數量的20%分發(fā)給社區(qū)工作人員，再將剩余口罩的分發(fā)給小區(qū)，則小區(qū)兩周收到的口罩數量與三個小區(qū)兩周收到的口罩數量之和的比為2：9.若、小區(qū)兩周收到的口罩數量之比為3：4，則小區(qū)第二周收到的口罩數量與口罩總數量之比為（）A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41【答案】B【分析】先設出相應的量，利用題意表示出它們的關系，再列式求解即可．【詳解】解：設第一批和第二批口罩數量分別為a和b，小區(qū)第二周收到的口罩數量為x，由題意可得如下信息：ABC三個小區(qū)口罩總量第一周第二周∵小區(qū)兩周收到的口罩數量與三個小區(qū)兩周收到的口罩數量之和的比為2：9，∴，∴，由、小區(qū)兩周收到的口罩數量之比為3：4，∴、、三個小區(qū)兩周收到的口罩數量之和的比為，∴即，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了列代數式的應用，解題關鍵是正確理解題意，根據其中的比例關系正確表示出第一周和第二周的A和B兩個小區(qū)的口罩數量，以及求出a和b的數量關系，本題較為抽象，學生在審題上易出現困難．40．甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】設甲單獨完成任務需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，根據乙提供的信息列出方程并解答；根據丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務所需的時間．【詳解】解：設甲單獨完成任務需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，由題意得：，解得：，經檢驗是原方程的根，且符合題意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，∴一輪的工作量為：，∴輪后剩余的工作量為：，∴還需要甲工作1小時后，乙需要的工作量為：，∴乙還需要工作的時間為（小時），∴按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（小時）．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是分析題意，找到合適的等量關系進行求解．41．2月開學季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價之比為，銷量之比為．開學后不久，根據市場需求，在2月下旬文具店老板對三種主題大禮包售價進行了調整，其中B主題大禮包售價比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價的基礎上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．【答案】【分析】設2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據“2月下旬A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的”列出方程，然后分別求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額，進而求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售量，即可解答．【詳解】解：設2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據題意，得，解得，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額分別為，，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售之比為．故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程方程是應用，讀懂題意，找出等量關系式是解題的關鍵．42．某水果店進了一批蘋果、橘子、車厘子，這些水果剛好包裝成50個相同規(guī)格的水果禮盒出售（禮盒的售價即是三種水果的價格之和）．其中蘋果、橘子、車厘子進價之比為；蘋果、橘子、車厘子售價分別比其進價高；每個禮盒的蘋果、橘子、車厘子的數量之比為．年前水果店一共賣出水果禮盒若干，剩下的禮盒在年后全部售完，由于存放較久，三種水果都降價．降價后的蘋果、橘子、車厘子售價分別是進價的、、．把剩下的禮盒按照降價后的方式全部售完后，年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為；則這批水果最后的總利潤率為．【答案】【分析】設蘋果、橘子、車厘子進價分別為，然后分別表示出降價前和降價后蘋果、橘子、車厘子的售價，設每個禮盒中蘋果，橘子，車厘子的數量分別為，年前銷售禮盒z個，則年后銷售禮盒個，根據年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為，列出比例式求出，然后分別表示出總成本，年前利潤和年后利潤即可得到答案．【詳解】解：設蘋果、橘子、車厘子進價分別為，則降價前蘋果、橘子、車厘子的售價分別為，∴降價后，蘋果、橘子、車厘子的售價分別為，設每個禮盒中蘋果，橘子，車厘子的數量分別為，年前銷售禮盒z個，則年后銷售禮盒個，∵年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為；∴，∴，解得，經檢驗：是方程的解，∴年前銷售禮盒40個，年后銷售禮盒10個，這批水果的總成本為，年前銷售利潤為，年后銷售利潤為，∴總利潤率，故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，正確設出未知數，根據已知條件求出年前和年后銷售禮盒的數量是解題的關鍵．43．已知甲、乙兩地相距24千米，小明從甲地勻速跑步到乙地用時3小時，小明出發(fā)0.5小時后，小聰沿相同的路線從甲地勻速騎自行車到甲乙兩地中點處的景區(qū)游玩1小時，然后按原來速度的一半騎行，結果與小明同時到達乙地．小明和小聰所走的路程S（千米）與時間t（小時）的函數圖象如圖所示．（1）小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時．（2）在整個過程中，小明、小聰兩人之間的距離S隨t的增大而增大時，t的取值范圍是．【答案】，，【分析】（1）設小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時，則第二段路程的速度為千米/小時,根據題意建立分式方程解方程即可求解；（2）分析題意，結合函數圖象可知，從時，兩人的距離S隨t的增大而增大，當第一次相遇到小聰停下，S隨t的增大而增大，當兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時，S隨t的增大而增大．【詳解】（1）設小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時，則第二段路程的速度為千米/小時,根據題意得，解得，經檢驗，是原方程的解，故答案為：24第一段路程的速度為千米/小時（2）結合函數圖象可知，從時，兩人的距離S隨t的增大而增大，小明的速度為千米/小時當第一次相遇時，解得當第一次相遇到小聰停下，此時，當第二次相遇時，解得小聰開始騎行第二段路程時的時間為，當兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時，S隨t的增大而增大，此時．當時，因為小聰的速度大于小明的速度，則兩人的距離隨t的增大而減小，綜上所述，，，時，S隨t的增大而增大，故答案為：，，【點睛】本題考查了分式方程的應用，函數圖象，從函數圖象獲取信息是解題的關鍵．44．如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為米的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了．

(1)①“豐收1號”單位面積產量為，“豐收2號”單位面積產量為（以上結果均用含的式子表示）；②通過計算可知，（填“1號”或“2號”）小麥單位面積產量高；(2)若高的單位面積產量比低的單位面積產量的多，求的值；(3)某農戶試種“豐收1號”、“豐收2號”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產量與實驗田一致，“豐收1號”小麥種植面積為平方米（為整數），“豐收2號”小麥種植面積比“豐收1號”少55平方米，若兩種小麥種植后，收獲的產量相同，當且為整數時，符合條件的值為（直接寫出結果）．【答案】(1)①；②2號(2)14(3)，，【分析】本題考查分式方程的應用，不等式的應用．（1）①用“總產量÷面積”列式求得單位面積的產量；②根據，并利用不等式的性質作出比較；（2）根據題意可以列出相應的方程，從而可以求得的值；（3）根據題意列出方程，并結合，列不等式求解．理解分式的基本性質，不等式的基本性質，根據題意列出方程是解題關鍵．【詳解】（1）解：①由題意，“豐收號”小麥的試驗田的面積為，∴“豐收號”單位面積產量為；由題意，“豐收號”單位面積為，∴“豐收號”單位面積產量為．故答案為：；．②∵，∴，，∴，∴，∴，即“豐收號”小麥的單位面積產量高．故答案為：號．（2）根據題意，得：，解得：，經檢驗：是原方程的解且符合題意．∴的值是．（3）根據題意，得：，整理，可得：，∴，當時，，解得：，又∵為正整數，且滿足，當時，，當時，，當時，，∴符合條件的的值為，，．故答案為：，，．45．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，任務取得圓滿成功．航模店看準商機，同樣花費320元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多4個且每個“天宮”模型成本比每個“神舟”模型成本少．(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？(2)該航模店計劃購買兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，“天宮”模型的售價為25元．設購買“神舟”模型a個，售賣這兩種模型可獲得的利潤為w元，①求w與a的函數關系式（不要求寫出a的取值范圍）；②若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的一半，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)“神舟”模型成本為每個20元，“天宮”模型成本為每個16元(2)①w與a的函數關系式為；②購進“神舟”模型33個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為元【分析】（1）等量關系式：320元購進“天宮”模型的數量元購進“神舟”模型的數量，據此列方程，檢驗合理性，即可求解；（2）①總利潤“神舟”模型的利潤“天宮”模型的利潤，據此即可求解；②可求，再由一次函數的增減性，從而可求的最值．【詳解】（1）解：設“神舟”模型成本為每個x元，則“天宮”模型成本為每個(元)，根據題意得：，解得，經檢驗，是原方程的解，(元)，答：“神舟”模型成本為每個20元，“天宮”模型成本為每個16元；（2）解：①設購買“神舟”模型a個，則購買“天宮”模型個，則，與a的函數關系式為；②∵購進“神舟”模型的數量不超過“天官”模型數量的一半，，解得，，，當時，（元）；答：購進“神舟”模型33個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一次函數的應用，一元一次不等式的應用，找出相應的等量關系及不等關系，會根據一次函數的性質求解是解題的關鍵．46．根據素材，完成任務．如何設計雪花模型材料采購方案？素材一學校組織同學參與甲、乙兩款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到長、短兩種管子材料．某同學用6根長管子、48根短管子制作了1個甲雪花模型與1個乙雪花模型，已知制作一個甲、乙款雪花模型需要的長、短管子數分別為1∶7與1∶9．素材二某商店的店內廣告牌如右圖所示．5月，學校花費320元向該商店購得的長管子數量比花200元購得的短管子數量少80根．

素材三6月，學校有活動經費1280元，欲向該商店采購長、短管子各若干根全部用來制作甲、乙雪花模型（材料沒有剩余），且采購經費恰好用完．問題解決任務一分析雪花模型結構求制作一個甲、乙款雪花模型分別需要長、短管子多少根？任務二確定采購費用試求a的值并求出假如6月只制作一個甲款雪花模型的材料采購費．任務三擬定采購方案求出所有滿足條件的采購方案，并指出哪種方案得到的雪花總數最多．【答案】任務一：制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務二：；制作一個甲款雪花模型需要13元；任務三：購買258根長管子，2130根短管子；購買261根長管子，2125根短管子；購買264根長管子，2120根短管子；購買267根長管子，2115根短管子；當購買267根長管子，2115根短管子時，制作的雪花模型最多【分析】任務一：設制作一個甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子根，制作一個乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子根，根據用6根長管子、48根短管子制作了1個甲雪花模型與1個乙雪花模型，列出方程組，解方程組即可；任務二：根據題意列出關于a的方程，解方程即可，根據6月份的優(yōu)惠方案求出制作一個甲款雪花模型需要的費用即可；任務三：設學校中采購了m根長管子，n根短管子，根據總費用1280元列出方程，得出，根據商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，列出不等式組，求出，根據m必須能被3整除，得出，，264，267，從而得出購買方案，根據制作一個甲款雪花模型和制作一個乙款雪花模型，都需要3根長管子，得出長管子數越多制作的雪花模型越多，當購買267根長管子，2115根短管子時，制作的雪花模型最多．【詳解】解：任務一：設制作一個甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子根，制作一個乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子根，根據題意得：，解得：，，，答：制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務二：∵5月，學校花費320元向該商店購得的長管子數量比花200元購得的短管子數量少80根，∴，解得：，經檢驗是原方程的根；∵制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，且6月1日起購買3根長管子贈送一根短管子，∴制作一個甲款雪花模型需要的費用為：（元）；任務三：設學校中采購了m根長管子，n根短管子，根據題意得：，解得：，∵商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，∴，解得：，∵m必須能被3整除，∴，，264，267，當時，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共86個，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時短管子可以用完，∴可以購買258根長管子，2130根短管子；當時，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共87個，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時短管子可以用完，∴可以購買261根長管子，2125根短管子；當時，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共88個，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時短管子可以用完，∴購買264根長管子，2120根短管子；當時，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共89個，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時短管子可以用完，∴可以購買267根長管子，2115根短管子；∵制作一個甲款雪花模型和制作一個乙款雪花模型，都需要3根長管子，∴長管子數越多制作的雪花模型越多，∴當購買267根長管子，2115根短管子時，制作的雪花模型最多．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組、分式方程和不等式組的應用，解題的關鍵是根據等量關系和不等關系列出方程或不等式．47．為落實《健康中國行動（）》等文件精神，某學校準備購進一批足球和排球促進校園體育活動．據了解，某體育用品超市每個足球的價格比排球的價格多20元，用500元購買的足球數量和400元購買的排球數量相等．(1)求每個足球和排球的價格；(2)學校決定購買足球和排球共50個，且購買足球的數量不少于排球的數量，求本次購買最少花費多少錢？(3)在（2）方案下，體育用品超市為支持學校體育活動，對足球提供8折優(yōu)惠，排球提供7.5折優(yōu)惠．學校決定將節(jié)約下的資金全部用于再次購買足球和排球（此時按原價購買，可以只購買一種），求再次購買足球和排球的方案．【答案】(1)每個足球的價格為100元，每個排球的價格為80元(2)本次購買最少花費4500元錢(3)學校再次購買足球和排球的方案有3個：①只購買10個足球；②購買6個足球，5個排球；③購買2個足球，10個排球【分析】（1）設每個足球的價格為x元，則每個排球的價格為元，由題意：用500元購買的足球數量和400元購買的排球數量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）設學校決定購買足球a個，本次購買花費y元，則購買排球個，求出，再由題意得，然后由一次函數的性質即可得出結論；（3）求出學校節(jié)約資金1000元，設學校再次購買足球m個，排球n個，再由題意：學校決定將節(jié)約下的資金全部用于再次購買足球和排球，列出二元一次方程，求出非負整數解，即可解決問題．【詳解】（1）解：設每個足球的價格為x元，則每個排球的價格為元，由題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴，答：每個足球的價格為100元，每個排球的價格為80元；（2）解：設學校決定購買足球a個，本次購買花費y元，則購買排球個，則，解得：，由題意得：，∵，∴y隨a的增大而增大，∴當時，y有最小值，答：本次購買最少花費4500元錢；（3）解：在（2）方案下，學校購買足球和排球各25個，花費4500元，∵體育用品超市為支持學校體育活動，對足球提供8折優(yōu)惠，排球提供7.5折優(yōu)惠，∴學校節(jié)約資金：（元），設學校再次購買足球m個，排球n個，由題意得：，整理得：，∵m、n都是非負整數，∴或或，∴學校再次購買足球和排球的方案有3個：①只購買10個足球；②購買6個足球，5個排球；③購買2個足球，10個排球．【點睛】本題考查了分式方程的應用、一次函數的應用、一元一次不等式的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）正確求出一次函數關系式；（3）找準等量關系，正確列出二元一次方程．48．鄭州經開區(qū)八大街某運動用品商店準備購買足球、排球兩種商品，每個足球的進價比排球多元，用元購進足球和元購進排球的數量相同．商品將每個足球售價定為元，每個排球售價定為元．(1)每個足球和排球的進價分別是多少？(2)根據商店對運動用品市場調查，商店計劃用不超過元的資金購進足球和排球共個，其中足球數量不低于排球數量的，該商店有幾種進貨方案？(3)“六一”期間，該商店開展促銷活動，決定對每個足球售價優(yōu)惠元，排球的售價不變．假定這個球在“六一”期間能夠全部賣完，在的條件下，請設計出的不同取值范圍內，銷售這個球獲得的總利潤最大的進價方案．【答案】(1)每個足球的進價分別是元，每個排球的進價分別是元(2)該商店有種進貨方案(3)當時，購進足球個，排球個獲得利潤最大；當時，，，，，，獲得利潤一樣大；當時，購進足球個，排球個獲得利潤最大．【分析】（1）設排球每個進價為x元，則足球每個進價為（x+40）元，根據用4000元購進足球和2400元購進排球的數量相同列出方程，姐方程即可；（2）設商店購買足球a個，則購買排球（40-a）個，根據商店計劃用不超過3000元的資金購進足球和排球共40個，其中足球數量不低于排球數量的，列不等式組，解不等式組即可；（3）根據總利潤=足球利潤+排球利潤列出函數解析式，再根據函數的性質求最值及此時進貨方案．【詳解】（1）解：（1）設排球每個進價為x元，則足球每個進價為（x+40）元，根據題意得：，解得：x=60，經檢驗，x=60是原方程的解，∴x+40=60+40=100（元），答：每個足球的進價分別是100元，每個排球的進價分別是60元；（2）解：設商店購買足球個，則購買排球個，根據題意得：，解得：，是正整數，的取值為，，，，，，該商店有種進貨方案；（3）解：設該商店售完個球所獲得的利潤為元，由題意得：，當，即時，隨的增大而增大，當時，最大，此時購進足球個，排球個；當，即時，，此時的進貨方案為：購進足球個，排球個；購進足球個，排球個；購進足球個，排球個；購進足球個，排球個；購進足球個，排球個；購進足球個，排球個．當，即時，隨的增大而減小，當時，最大，此時購進足球個，排球個．綜上，當時，購進足球個，排球個獲得利潤最大；當時，，，，，，獲得利潤一樣大；當時，購進足球個，排球個獲得利潤最大．【點睛】本題考查分式方程、一元一次不等式、一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程、不等式和函數關系式．49．我校科技興趣小組利用機器人開展研究活動，在相距150個單位長度的直線跑道AB上，機器人甲從端點A出發(fā)，勻速往返于端點A、B之間，機器人乙同時從端點B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點B、A之間．他們到達端點后立即轉身折返，用時忽略不計，興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點處相遇這兩種．(1)【觀察】①觀察圖1，若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為30個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度．②若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為35個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度．(2)【發(fā)現】設這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為x個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為y個單位長度，興趣小組成員發(fā)現了y與x的函數關系，并畫出了部分函數圖像（線段OP，不包括點O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖像對應的函數解析式，并在圖2中補全函數圖像．【答案】(1)①90；②105(2)①50；②；圖像見解析【分析】（1）①設此時相遇點距點A為m個單位，根據題意列方程即