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山東省棗莊市北辛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0,+∞),則的最大值為()A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.【專題】計(jì)算題.【分析】由于二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0,+∞),所以a>0,且△=0,從而得到a,c的關(guān)系等式,再利用a,c的關(guān)系等式解出a,把轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的代數(shù)式利用均值不等式進(jìn)而求解.【解答】解:因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0,+∞),所以?ac=4?c=,所以====
由于(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào))所以.故答案為:C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的值域,變量的替換及利用均值不等式求最值.2.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且有,則不等式的解集為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C3.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,,則(
)A.11
B.5
C.-11
D.-8參考答案:C4.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①“x2+x﹣2>0”是“x>1”的充分不必要條件②命題:“?x∈R,sinx≤1”的否定是“?x0∈R,sinx0>1”.③“若x=,則tanx=1,”的逆命題為真命題;④若f(x)是R上的奇函數(shù),則f(log32)+f(log23)=0.A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:A【考點(diǎn)】四種命題.【分析】①由充分必要條件的定義,即可判斷;②由含有一個(gè)量詞的命題的否定形式,即可判斷;③先求出逆命題,再判斷真假即可,④根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可判斷.【解答】解:對(duì)于①,x2+x﹣2>0,解得x<﹣2或x>1,故“x>1”的必要不充分條件,故錯(cuò)誤,對(duì)于②,命題:“?x∈R,sinx≤1”的否定是“?x0∈R,sinx0>1”,故正確,對(duì)于③,若x=,則tanx=1,”的逆命題為“若tanx=1,則x=,x還可以等于,故錯(cuò)誤,對(duì)于④,f(x)是R上的奇函數(shù),則f(﹣x)=﹣f(x),∵log32=,∴l(xiāng)og32與log23不是互為相反數(shù),故錯(cuò)誤.故選:A.5.若a,b都是實(shí)數(shù),則“a-b>0”是“a2-b2>0”的(A)充分而不必要條件
(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件
(D)既不充分也不必要條件參考答案:D6.把二進(jìn)制數(shù)10102化為十進(jìn)制數(shù)為()A.20 B.12 C.11 D.10參考答案:D【考點(diǎn)】進(jìn)位制.【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;算法和程序框圖.【分析】利用累加權(quán)重法,可將二進(jìn)制數(shù)10102化為十進(jìn)制數(shù).【解答】解:1010(2)=2+23=10(10),故將二進(jìn)制數(shù)10102化為十進(jìn)制數(shù)為10,故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,解答的關(guān)鍵是熟練掌握不同進(jìn)制之間數(shù)的轉(zhuǎn)化規(guī)則.7.若(x6)n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則n的最小值等于(
) A.3 B.4 C.5 D.6參考答案:C考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).專題:計(jì)算題;二項(xiàng)式定理.分析:二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r,對(duì)其進(jìn)行整理,令x的指數(shù)為0,建立方程求出n的最小值.解答: 解:由題意,(x6)n的展開式的項(xiàng)為Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0,得n=r,當(dāng)r=4時(shí),n取到最小值5故選:C.點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的項(xiàng),且能根據(jù)指數(shù)的形式及題設(shè)中有常數(shù)的條件轉(zhuǎn)化成指數(shù)為0,得到n的表達(dá)式,推測(cè)出它的值.8.設(shè),且為正實(shí)數(shù),則2
1
0
參考答案:9.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在(-∞,0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是
(
)A. B. C. D.參考答案:C試題分析:A:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,B:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,C:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞增,D:函數(shù)為奇函數(shù).所以綜上可得:C正確.考點(diǎn):函數(shù)奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性.10.已知集合,集合,,則()A. B. C. D.參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若直線對(duì)任意的都不是曲線的切線,則的取值范圍為
.參考答案:【答案解析】
解析:根據(jù)題意得:=-1無解,即所以.【思路點(diǎn)撥】函數(shù)沒有斜率為-1的切線,故=-1無解,由此求得范圍.12.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,80件,60件。為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查,其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件,則n=____參考答案:1313.已知等差數(shù)列{}中,,,若,則k=
.參考答案:1214.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為,則(其中O為極點(diǎn))的面積為
。參考答案:3略15.已知,向量在向量上的投影為,則
.參考答案:120°
16.若行列式的第1行第2列的元素1的代數(shù)余子式為﹣1,則實(shí)數(shù)x的取值集合為.參考答案:{x|x=π+2kπ,k∈Z}【考點(diǎn)】三階矩陣.【專題】三角函數(shù)的求值;矩陣和變換.【分析】本題直接根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的定義進(jìn)行計(jì)算,即可得到本題結(jié)論.【解答】解:∵行列式的第1行第2列的元素1的代數(shù)余子式為﹣1,∴﹣=﹣1,∴sin(π+x)﹣=1,∴﹣sinx﹣×(cosx﹣sinx)=1,即cosx=﹣1,∴x=π+2kπ
(k∈Z),故答案為:{x|x=π+2kπ,k∈Z}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了行列式的代數(shù)余子式,三角函數(shù)的計(jì)算,記住常用常見角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=
參考答案:
由正弦定理可得三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=x2+ax,g(x)=ex,a∈R且a≠0,e=2.718…,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)在[﹣1,1]上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)令函數(shù)p(x)=f'(x)?g(x),若?a∈[1,3],函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上均為增函數(shù),求證:b≥e3﹣7.參考答案:【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6D:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù),h′(x)=,令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,求出t(x)的兩個(gè)零點(diǎn)<﹣1,>﹣1.然后分a≤和a>﹣討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)在[﹣1,1]上的一個(gè)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)由函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上為增函數(shù),可得p′(x)=ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上恒成立,轉(zhuǎn)化為x+a+1≥0在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上恒成立,得到b≥ea﹣2a﹣1對(duì)?a∈[1,3]恒成立,令φ(a)=ea﹣2a﹣1,求導(dǎo)可得φ(a)=ea﹣2a﹣1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3﹣7.從而證得b≥e3﹣7.【解答】(Ⅰ)解:∵f(x)=x2+ax,g(x)=ex,∴h(x)=f(x)?g(x)=(x2+ax)ex,h′(x)=,令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,由t(x)=0,得<﹣1,>﹣1.若a≤,則x2≥1,t(x)≤0在[﹣1,1]上恒成立,即h′(x)在[﹣1,1]上恒成立,h(x)單調(diào)遞減,在[﹣1,1]上無極值點(diǎn);若a>﹣,則﹣1<x2<1,當(dāng)x∈[﹣1,x2)時(shí),t(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x2,1]時(shí),t(x)>0,即h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,∴x2是函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)在[﹣1,1]上的一個(gè)極值點(diǎn).(Ⅱ)證明:p(x)=f'(x)?g(x)=(x+a)ex,p′(x)=ex(x+a+1),∵函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上為增函數(shù),∴ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上恒成立,即x+a+1≥0在區(qū)間[b+a﹣ea,+∞]上恒成立,則b+a﹣ea+a+1≥0對(duì)?a∈[1,3]恒成立,∴b≥ea﹣2a﹣1對(duì)?a∈[1,3]恒成立,令φ(a)=ea﹣2a﹣1,則φ′(a)=ea﹣2>0,∴φ(a)=ea﹣2a﹣1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3﹣7.∴b≥e3﹣7.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬難題.19.如圖所示,有一塊邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域,在點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角始終為弧度(其中點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)),設(shè),。(1)試用表示出的長(zhǎng)度,并探求的周長(zhǎng);(2)求探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積的最大值。參考答案:(1)設(shè),,,,,
。………(2分)
∴,為定值。(7分)
(2)。………………(10分)
又函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),…………(12分)
∴,∴。…(14分)
所以探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積的最大值為。…………(15分)20.(14分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn,點(diǎn)在直線上.數(shù)列{bn}滿足
,前9項(xiàng)和為153.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列{cn}的前n和為Tn,求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)k的值.參考答案:解析:(Ⅰ)由題意,得
故當(dāng)……2分
注意到n=1時(shí),a1=S1=6,而當(dāng)n=1,n+5=6,………………3分
所以,
…………4分又,所以{bn}為等差數(shù)列,于是而,因此,
………………5分
(Ⅱ)
…………10分所以,
…………12分由于,因此Tn單調(diào)遞增,故………………13分令
…………14分21.設(shè)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)x∈Z時(shí),求A的非空真子集個(gè)數(shù);(3)當(dāng)x∈R時(shí),不存在元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案:(1)當(dāng)m+1>2m-1,即m<2時(shí),B=?,滿足B?A.當(dāng)m+1≤2m-1,即m≥2時(shí),要使B?A成立,只需即2≤m≤3.綜上,當(dāng)B?A時(shí),m的取值范圍是{m|m≤3}.(2)當(dāng)x∈Z時(shí),A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},∴集合A的非空真子集個(gè)數(shù)為28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5
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