熱力學與統計物理-試題及答案 2

2l中國海洋大學試題答2l學第2學期

試題名：力與計物A

共

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第

1頁專業年：

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授課教名

楊愛玲

分數一．

填空題共40分）．個同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自度為，系統的自由度為（Nr統狀態可以用（2Nr）Г空間中的一個代表點表示。對處于平衡態的孤立系統，如果系統所可能的微觀狀態數為則一微觀態出現的概率為（1/?統熵為（kln?

．玻色統計與費米統計的區別在于系統中的粒子是遵從（泡利不相容原理）原，其中費米）系統的分布必須滿足0≤fs≤。．玻色系統和費米系統在滿足（經典限條件或e

-

α

或α>>1條件時，可以使用玻爾茲曼統計。．

dUlllll

l

給出內能變化的兩個原因，其中（

ll

）項描述傳熱

dl

l

）項描述做功。ll．粒子數守恒的玻色系統，溫度下降會使粒子的化學勢（升果溫度足夠低，則會發生（玻——愛因斯坦凝聚時統的能量U＝0強＝0＝（000．已知粒子遵從經典玻爾茲曼分布，其能量表達式

(p

x

2

p

y

2

z

2

)ax

2

，粒子的平均能量為2kT－b/4a．當溫度（很低或粒子數密度（很）時玻色系統與費米系統的量子關聯效應會強。如果系統的分布函數為ρ，系統在量子態s的能量為，ρs

和表：系統的平均能量為（

E

s

E

s

能量漲落為（

s

(s

2

寫成

2E)

也得分

ss．與宏觀平衡態對應的是穩定系綜，穩定綜的分布函ρ具有特點（d/dt=0或時間無關等同樣的意思也得分時ρ也足s歸一化條件。二．計算證明題（每題10分共60分）．假定某種類型分子（設粒子可以分辨）的許可能為，，2，3而都是非簡并的，如果系統含有6個子，問：（）與總能量3相聯系的分布是什么樣的分布？分布需滿足的條件是什么？（）根據公式

N!al!lll

計算每種分布的微觀態數；（）確定各種分布的概率。解：能級：能量值：簡并度：分布數：

ε，ε，ε，ε，12340，ω，2，，1，1，1，1，a,a,a,a,…1234

xyxy分布

l

要滿足的條件為：

Nlll

ll

E滿足上述條件的分布有：B：

lll

6!

6;6!各分布對應的微觀態數為：C

6!3!

20所有分布總的微觀態數為：

30各分布對應的概率為：

//560.107;AA//56BB/56C2．表面活性物質的子在液面（面積為A上做二維自由運動，可看作二維理想氣體，設粒子的質量為m，總粒子數N。（）求單粒子的配分函數Z；1（）在平衡態，按玻爾茲曼分布率，寫出位在x到x＋，y到y＋dy內動量在p到dp，p到p＋內的分子數dN；xxxyyy（）寫出分子按速度的分布；（）寫出分子按速率的分布。解單粒子的配分函數

z1

1h2

e

()

dp(2h2

mkT)（）

dN

)

dxdydph

NdxdydpdpxyZ21（）將）代入2對積，得分子按速度的分布為

(v

2kT

)e

(v2)dvdvxx（）有）可得分子按速的分布為：

(

)e

2

vdvN()kT

2kT

vdv．定域系含有N個獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能ε＝－，ε＝，其ε120

0

大于零且為外參量y函數。求：（1溫度為T時于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之比，說明在極端高溫和極端低溫時粒子數的特點；（2系統的內能和熱容量（3極端高溫和極端低溫系統的熵。解）粒子的配分函數為：

1

l

l

110處于基態的粒子數為：NN1處于激發態的粒子數為：;溫度為T時于激發態的粒子數與處于基態的粒子之為：

N2Ne1

ekTe極端高溫時：ε《kT，0

N2N1

即于激發態的粒子數與處于基態的粒子數基相同；極端低溫時：ε》kT，0

N2N1

即子幾乎全部處于基態。（2系統的內能：

1ln(

0

ee

熱容量：

)()kTkT

1

ee

)

Slnlnln（3極端高溫時系統的熵極端低溫時系統的熵S=0．對弱簡并的非相對論費米氣體，求：（1粒子數分布的零級近f與一級修正Δf；01（2證明：與零級近似相，粒子數的相對修正量和內能的相對修量均正比于

。解：費米氣體分布函數為：

f

1

（1

f

11

f0

，

1

（2

(

)d

d

(D

e

f

e

．金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數密n（1簡述：＝0K時子氣體分布的特，并說明此時化學μ的意義；0f

T=0K

（2）明T＝0K時子的平能量

0

35

0

，簡并壓強

2pn5

0

；（3）似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容比。

μ0

ε

（1）表＝0K時子最能量。電子從ε＝0的級開始，先占據低能級，然后占據高能級，遵0

120fD)ddCV200000ff3V從泡120fD)ddCV200000ff3Vf1(<f=0>)0032dUd30015N12d002UU2232p335111（（（f時:222T>0K時只有在μ附近kT量級范圍內的電子可躍到高能級，對C有獻，設這部分電子的數為N，則Veff

N

eff

N

kT

。每一電子對C的獻為3kT/2,則屬中自由電子對Cv的獻V

C

33kTNkkT3NkkT3NkkN()()()22kT2ff晶格的熱容量為Cv＝3Nk，

CT0(:10C2Tf

4

5

)UU0．固體的熱運動可以視為3N個立正振動，每個振動具有各自的簡正頻ωi，內能的表式為：

i

e

i

，式中的求和遍及所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜（1寫出愛因斯坦模型中用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并以簡單說明；（2用愛因斯坦模型求高下固體的熱容量；（3用德拜模型證明低溫固體的熱容量正比于T。解）愛因斯坦模型：N分子的振動簡化為同率（ω）的簡諧振動，每個振的能級為

1n)2

；德拜模型：N個子振動簡化為個簡正振動，每個振子的頻不同，且有上限，D

d

Bd

.(2)愛斯坦模:ll3N3NU

n)

2

;V

e)N