山西省大同市上深澗中學2023年高二數學理期末試題含解析

山西省大同市上深澗中學2023年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當時，下面的程序段輸出的結果是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是A.若K2的觀測值為k=6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病;C.若從統計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現錯誤;D.以上三種說法都不正確.參考答案：C略3.如圖，在邊長為a的正方形內有不規則圖形Ω．向正方形內隨機撒豆子，若撒在圖形Ω內和正方形內的豆子數分別為57，100，則圖形Ω面積的估計值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】根據落到不規則圖形Ω和正方形中的點的個數，得到概率，即得到兩者的面積的比值，根據所給的正方形的邊長，求出面積，根據比值得到要求的面積的估計值．【解答】解：由題意知撒在圖形Ω內和正方形內的豆子數分別為57，100，∴不規則圖形Ω的面積：正方形的面積=57：100，∴不規則圖形Ω的面積=×正方形的面積=a2．故選C．4.在中，已知，，，則的面積等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.

參考答案：C略6.等差數列中，，則（

）A.12

B.24

C.36

D.48參考答案：B略7.拋物線y＝ax2（a≠0）的焦點坐標是（

）A．（0，）

B．（0，－）

C．（0，）

D．（0，）參考答案：A略8.已知拋物線y2=4x的焦點為F，A、B，為拋物線上兩點，若=3，O為坐標原點，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】根據拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯立，求出A，B的坐標，即可求出△AOB的面積．【解答】解：如圖所示，根據拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，直線AB的方程為y=（x﹣1），聯立直線AB與拋物線的方程可得A（3，2），B（，﹣），所以|AB|==，而原點到直線AB的距離為d=，所以S△AOB=，當直線AB的傾斜角為120°時，同理可求．故選B．9.用反證法證明命題:“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時,假設正確的是()(A)假設三個內角都不大于60度

(B)假設三個內角都大于60度(C)假設三個內角至多有一個大于60度

(D)假設三個內角有兩個大于60度參考答案：B10.汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（

）

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若其中為虛數單位，則____________．參考答案：3略12.下列命題：①設a，b是非零實數，若a＜b，則ab2＜a2b；②若a＜b＜0，則；③函數y=的最小值是2；④若x、y是正數，且+=1，則xy有最小值16；⑤已知兩個正實數x，y滿足+=1，則x+y的最小值是．其中正確命題的序號是．參考答案：②④【考點】不等式的基本性質；基本不等式．【專題】應用題；轉化思想；定義法；不等式．【分析】①的結論不成立，舉出反例即可；②由同號不等式取倒數法則，知②成立；③④⑤分別利用基本不等式即可判斷．【解答】解：①設a，b是非零實數，若a＜b，則ab2＜a2b，此結論不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，則ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同號不等式取倒數法則，知＞，故②成立；③函數y==+≥2的前提條件是=1，∵≥2，∴函數y的最小值不是2，故③不正確；④∵x、y是正數，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正確，⑤兩個正實數x，y滿足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，當且僅當x=2+，y=+1時取等號，故⑤不正確，故答案為：②④．【點評】本題考查命題的真假判斷，解題時要注意同號不等式取倒數法則、均值不等式成立的條件等知識點的靈活運用．13.參考答案：14.過點且與直線平行的直線方程為

．參考答案：15.在的展開式中的系數是______．（用具體數作答）參考答案：180.因為二項式，展開式的通項公式為，而對于的展開式，其中，都為自然數，令，解得或，所以展開式的系數為。16.若,且,則的最小值為__

__。

參考答案：17.函數存在單調遞減區間，則a的取值范圍是

參考答案：(-1，0)

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求函數的最小值。參考答案：解析：可看作點到點和點的距離之和，作點關于軸對稱的點19.已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交拋物線C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有.當點A的橫坐標為3時，（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若直線，且和拋物線C有且只有一個公共點E，試問直線AE（A為拋物線C上異于原點的任意一點）是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）由題意知，由拋物線的定義知：，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）由（1）知，設，，因為，則，由得，故，故直線的斜率為，因為直線和直線平行，故可設直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意知，得.設，則，，當時，，可得直線的方程為，由，整理可得，所以直線恒過點，當時，直線的方程為，過點，所以直線恒過定點.20.已知直線是橢圓的右準線，若橢圓的離心率為，右準線方程為x=2．（1）求橢圓Γ的方程；（2）已知一直線AB過右焦點F（c，0），交橢圓Γ于A，B兩點，P為橢圓Γ的左頂點，PA，PB與右準線交于點M（xM，yM），N（xN，yN），問yM?yN是否為定值，若是，求出該定值，否則說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意可知：e==，=2，即可求得a和b的值，求得橢圓Γ的方程；（2）設AB的方程：x=my+1，代入橢圓方程由韋達定理求得直線PA的方程，代入即可求得yM=（2+），yN=（2+），yM?yN==，代入即可求得yM?yN=﹣1．【解答】解：（1）依題意：橢圓的離心率e==，=2，則a=，b=1，c=1，故橢圓Γ方程為；

…（2）設AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，由韋達定理得：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…直線PA：y=（x+），令x=2，得yM=（2+），同理：yN=（2+），…∴yM?yN==，=，=，=，===﹣1，yM?yN=﹣1，yM?yN是定值，定值為﹣1．…21.（本小題滿分20分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，過點A（0，－b）和B（a，0）的直線與原點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點E（－2，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D兩點，證明：對任意的t＞0，都存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點.參考答案：解析：（I）直線的方程為，依題意得

解得，所以，橢圓方程為．……………（5分）（Ⅱ）將代入橢圓方程，得，

由直線與橢圓有兩個交點，，，……（1）…………（10分）設，則，，……（2）以為直徑的圓過點，，即，而，，將（2）代入，，解得，…………（15分），，即滿足（1），所以，對任意的，都存在，使得以線段為直徑的圓過點．……（