天津市第七中學2022-2023學年高三上學期期中模擬數學試題（解析版）

第16頁/共16頁天津七中2022-2023學年高三（上）期中復習模擬數學試卷一、單選題（本大題共9小題，共45分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設全集,集合,集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意,對集合進行化簡,先求,再求即可.【詳解】解:全集,集合,,.故選:B2.在某次高中學科競賽中，名考生的參賽成績統計如圖所示，分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區間中點作代表，則下列說法中有誤的是（）A.成績在分的考生人數最多 B.考生競賽成績的中位數為分C.不及格的考生人數為人 D.考生競賽成績的平均分約分【答案】B【解析】【分析】由頻率分布直方圖可知選項正確，根據中位數的計算方法可求得考生競賽成績的中位數，判斷B;求出不及格人數判斷C;利用區間中點值乘以該組的頻率，再依次相加，即可求出平均值的估計值，判斷D.【詳解】根據頻率分布直方圖得，成績出現在的頻率最大，所以成績在分的考生人數最多，故A正確；由于，，故考生競賽成績的中位數為，故B錯誤；不及格考生數為，故C正確；根據頻率分布直方圖估計考生競賽成績平均分為，故D正確。故選：B．3.像“，，”這樣能夠成直角三角形的數稱為勾股數，又稱為（）A.畢達哥拉斯數 B.楊輝數 C.拉格朗日恒等數 D.三角數【答案】A【解析】【分析】勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理，即可得出.【詳解】勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理，故勾股數又稱為畢達哥拉斯數.故選：A.4.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據指數函數以及對數函數的單調性判斷的范圍可得答案.【詳解】,故，故選：D.5.一個球的表面積是，那么這個球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據表面積可先求出球半徑，即可由體積公式求出體積.【詳解】設球的半徑為，則，解得，則這個球的體積為.故選：C6.把函數的圖像上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半,縱坐標保持不變,再把圖像向左平移個單位,這時對應于這個圖像的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三角函數圖像的變換求解即可.【詳解】解：函數的圖像上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，可以得到函數的圖像，再把圖像向左平移個單位，可以得到函數的圖像.所以，此時對應于這個圖像的解析式是.故選:A7.已知函數的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的定義域可排除A；證明是奇函數可排除B；當且趨近于時，可排C，進而可得正確選項.【詳解】的定義域為，故排除選項A；定義域為，關于原點對稱，，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，故排除選項B；當且趨近于時，，故排除選項C，故選：D8.已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.9.已知定義在R上的偶函數，其導函數為．當時，恒有，若，則不等式的解集為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據為偶函數，則也為偶函數，利用導數可以判斷在為減函數，則不等式可轉化為，解不等式即可得到答案．【詳解】解：是定義在R上的偶函數，．時，恒有，又，在為減函數．為偶函數，也為偶函數在為增函數．又，，即，化簡得，得．故選A．【點睛】通過構造新函數來研究函數單調性是本題一大亮點，同時利用抽象函數的單調性、奇偶性解不等式是常考考點，要牢牢掌握．二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.設為虛數單位，則復數__________．【答案】【解析】【分析】利用復數的除法運算法則：分子?分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數．【詳解】復數故答案為：．【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題．11.在的展開式中，項的系數為______．【答案】10【解析】【分析】利用二項定理展開，再利用多項式乘法法則求出項即可作答.【詳解】依題意，，因此展開式中項為，所以項的系數為10.故答案為：1012.已知隨機變量X服從二項分布，則________．【答案】【解析】【分析】由二項分布的概率公式即可得解.【詳解】解：因為隨機變量X服從二項分布，所以根據二項分布概率公式得：.故答案為：13.若，，，則的最小值為___________.【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式常值代換即可求解.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為3，故答案為：314.如圖，以等腰直角的斜邊BC上的高AD為折痕把和折成互相垂直的兩個平面，若，得出如下結論：①②三棱錐是正三棱錐③二面角的大小為④三棱錐的外接球的表面積為其中所有正確結論的序號是___________.【答案】①②④【解析】【分析】根據面面垂直得線面垂直，進而可證明線線垂直可判斷①，根據三棱錐的棱長，可判斷三角形為等邊三角形，且三條側棱長度相等即可判斷②，根據二面角的幾何法求解，可判斷③，根據三棱錐外接球找球心的方法，可以確定球心在過中點的垂線上，進而可求④.【詳解】因為平面平面，且為其交線，平面,故平面,又平面,所以，故①對，由①知，,且,又因為,所以三棱錐是正三棱錐，②對，取的中點,連接,因為,,故,因此為二面角的平面角,在中，,故，所以③錯誤，過作,設球心為,過作交于，因為平面,所以平面,故四邊形為長方形,所以,在直角三角形中，,在直角三角形中，,因此,故是中點，因此,三棱錐的外接球的表面積為,故④對，故答案為：①②④15.已知，則使恒成立的的范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，構造函數，再求出函數的最大值作答.【詳解】因，令，，依題意，，當時，，求導得，當時，，當時，，因此在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，當時，，求導得，在上單調遞減，，于是得函數在上單調遞減，，因此，則，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用函數思想是解決問題的關鍵.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知函數，（）．（1）求的值；（2）求的單調遞減區間及圖象的對稱軸方程．【答案】（1）；（2）減區間，，．【解析】【分析】（1）根據三角恒等變換公式代簡的表達式為的形式，然后求得的值；（2）結合三角函數的圖象及性質，易求得的單調遞減區間及圖象的對稱軸方程．【詳解】（1）因為．（2）由（1）得，令，，所以的單調遞減區間為．又令﹐，，故圖象的對稱軸方程為，．【點睛】本題考查三角函數化簡、三角函數的圖象及性質等問題，屬于較易題．17.現給出兩個條件：①，②.從中選出一個條件補充在下面問題中，并以此為依據求解問題：在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，.（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面積的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】若選擇條件①：（1）利用余弦定理將角化邊得，再根據余弦定理求出角B；（2）由基本不等式可得，再根據面積公式計算可得；若選擇條件②：（1）利用二倍角公式得到，再利用正弦定理將角化邊即可得解；（2）利用基本不等式得到，再根據面積公式計算可得；【詳解】若選擇條件①：（1）因為，所以由余弦定理可得，整理可得，所以∵，（2）∵b=2，,∴由余弦定理得又，故（當且僅當a=c時取等號），∴所以故當且僅當a=c時面積的最大值為若選擇條件②：（1）由條件可知，，∴由正弦定理得∴，又，所以又，所以（2）∵b=2，∴由余弦定理得又，故（當且僅當時取等號）∴所以故當且僅當時面積的最大值為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、以及三角形面積公式解三角形，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.18.如圖①，在五邊形中，，，，，是以為斜邊的等腰直角三角形.現將沿折起，使平面平面，如圖②，記線段的中點為.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）運用面面垂直的判定定理進行證明；（2）建立空間直角坐標系，借助空間向量的坐標形式運用向量的數量積公式進行分析求解.【小問1詳解】∵，是線段的中點，∴.又∵，∴四邊形為平行四邊形，又，∴，又∵是等腰直角的中點，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】∵平面平面，且，∴平面，∴.∴兩兩垂直，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.∵為等腰直角三角形，且，∴，∴，，，，，，∴，，設平面的一個法向量為，則有，∴，不妨取，得，∵平面，∴平面的一個法向量為，設平面與平面所成的銳二面角為，則，∴平面與平面所成的銳二面角大小為.19.已知函數在上單調遞減．（1）求的取值范圍；（2）令，，求在上的最小值．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）求出導函數,在上單調遞減,等價于在上恒成立.只需在上恒成立.由二次函數的性質可得不等式組,解出即可;（2）可求，,可知,2],.按照極值點在區間(1，2）的左側、區間內、區間右側三種情況進行討論,由單調性可求得函數的最小值;【小問1詳解】，若在上單調遞減,則在上恒成立.；而,只需在上恒成立.；于,解得.【小問2詳解】則，令，則，，當時，即時，在上成立,此時在上單調遞增,有最小值;當即時,當時有,此時在上單調遞減,當時，有,此時在上單調遞增,有最小值;當即時,在上成立,此時在上單調遞減,有最小值.綜上：當，最小值;，最小值，最小值【點睛】該題考查利用導數研究函數的單調性、最值,考查分類討論思想；根據極值點與區間的位置關系分類討論是解決本題第二小問的關鍵.本題屬于較難題.20.已知數列的前n項和為，且．（1）證明數列是等比數列