(完整word版)近世代數期末考試題庫(包括模擬卷和1套完整題)

多所高校近世代數題庫一、（2011年近世代數）判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內打“√”，錯的打“×”；每小題1分，共10分）1、設與都是非空集合，那么2、設、、都是非空集合，則。（）到的每個映射都叫作二元運算。（）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（）4、如果循環群中生成元的階是無限的，則與整數加群同構。（）5、如果群的子群是循環群，那么也是循環群。6、近世代數中，群的子群是不變子群的充要條件為（）。（）7、如果環的階8、若環滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。9、的多項式叫做元在域上的極小多項式。（），那么的單位元。（）（）中滿足條件10、若域的特征是無限大，那么含有一個與生成的主理想。（）同構的子域，這里是整數環，是由素數二、（2011年近世代數）單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）1、設①集合③和都是非空集合，而是中兩兩都不相同；②到的一個映射，那么（）的次序不能調換；中不同的元對應的象必不相同；的象可以不唯一。④一個元2、指出下列那些運算是二元運算（）①在整數集上，；②在有理數集上，；③在正實數集上，；④在集合上，。3、設是整數集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（）①不適合交換律；②不適合結合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。4、設為群，其中是實數集，而乘法，這里為中固定的常數。那么群。中的單位元和元的逆元分別是（）①0和5、設；②1和0；③和；④和和都是群中的元素且，那么（）①；②；③；④。6、設是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（）①6；7、設②24；是一個群同態映射，那么下列錯誤的命題是（）的不變子群；③③10；④12。①的同態核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的子群的象是的子群；④的不變子群的象是的不變子群。8、設是環同態滿射，，那么下列錯誤的結論為（）②若是單位元，則是單位元；①若是零元，則是零元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（）①歐氏環一定是唯一分解環；③唯一分解環必是主理想環；②主理想環必是歐氏環；④唯一分解環必是歐氏環。10、若是域的有限擴域，是的有限擴域，那么（）①③；；②④；。三、（2011年近世代數）填空題（將正確的內容填在各題干預備的橫線上，內容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）1、設集合；，則有。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則3、設集合有一個分類，其中是的兩個類，如果4、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為。5、凱萊定理說：任一個子群都同一個同構。6、給出一個5-循環置換7、若是有單位元的環的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為。。與，那么。，那么。8、若是一個有單位元的交換環，是的一個理想，那么9、整環的一個元叫做一個素元，如果是一個域當且僅當是。。10、若域的一個擴域叫做的一個代數擴域，如果。四、（2011年近世代數）改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內容寫在預備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。3、設和是環的理想且，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。五、（2011年近世代數）計算題（共15分，每小題分標在小題后）1、給出下列四個四元置換組成的群，試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設是模6的剩余類環，且。如果、，計算、和以及它們的次數。3、群G=(a),|a|=7，求出群G的所有子群。六、（2011年近世代數）證明題（每小題10分，共40分）1、設和是一個群的兩個元且，又設的階，的階，并且，證明：的階。2、設為實數集，，令，將的所有這樣的變換構成一個集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個群。3、設和為環的兩個理想，試證和都是的理想。4、設是有限可交換的環且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整數環Z中，證明（3，7）=(1)6、證明：域是歐式環。7、證明群同態定理第一條。8、R[x]條件下，做映射：f：g(x)=g(0),求證：在f映射下R[x]與R同構,并求其核。多所高校近世代數題庫答案一、（近世代數）判斷題12345678910××√√×√√√××二、（近世代數）單項選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、（近世代數）填空題1、。2、。3、。4、。5、變換群。6、。7、。8、一個最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個元都是F上的一個代數元。四、（近世代數）改錯題1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結合律與交換律2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。消去律成立3、設和是環的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解環的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個單位因子5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元近世代數模擬試題一一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設A＝B＝R(實數集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（）A、滿射而非單射C、一一映射B、單射而非滿射D、既非單射也非滿射2、設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（A、2B、5C、7D、10）個元素。3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個解是（）乘法來說A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、當G為有限群，子群H所含元的個數與任一左陪集aH所含元的個數（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（）A、倍數B、次數C、約數D、指數二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、設集合；，則有---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環R的--------。3、環的乘法一般不交換。如果環R的乘法交換，則稱R是一個------。4、偶數環是---------的子環。5、一個集合A的若干個--變換的乘法作成的群叫做A的一個--------。6、每一個有限群都有與一個置換群--------。7、全體不等于0的有理數對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是---，元a的逆元是-------。8、設和是環的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一個除環的中心是一個-------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設置換和分別為：，，判斷和的奇偶性，并把和寫成對換的乘積。2、證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。3、設集合，定義中運算“”為ab=(a+b)(modm),則（，）是不是群，為什么？四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、設是群。證明：如果對任意的，則是交換群。2、假定R是一個有兩個以上的元的環，F是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。，有近世代數模擬試題二一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設G有6個元素的循環群，a是生成元，則G的子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面的代數系統（G，*）中，（）不是群A、G為整數集合，*為加法C、G為有理數集合，*為加法B、G為偶數集合，*為加法D、G為有理數集合，*為乘法3、在自然數集N上，下列哪種運算是可結合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、設、、是三個置換，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），則=（）A、B、C、D、5、任意一個具有2個或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個----------同構。2、一個有單位元的無零因子-----稱為整環。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于------。4、a的階若是一個有限整數n，那么G與-------同構。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為-----------------。7、叫做域的一個代數元，如果存在的-----8、是代數系統使得。的元素，對任何均成立，則稱為---------。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、---------。10、一個環R對于加法來作成一個循環群，則P是----------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。2、設E是所有偶數做成的集合，“”是數的乘法，則“”是E中的運算，（E，）是一個代數系統，問（E，）是不是群，為什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若<G，*>是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、設m是一個正整數，利用m定義整數集Z上的二元關系：a?b當且僅當m︱a–b。近世代數模擬試題三一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數的元素的個數一定等于（）。A、偶數B、奇數C、4的倍數D、2的正整數次冪4、下列哪個偏序集構成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關系））D、(P(A),)5、設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)C、(1)，(123)B、12)，(13)，(23)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是--------的。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則----------。3、區間[1，2]上的運算的單位元是-------。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環Z8的零因子有-----------------------。6、一個子群H的右、左陪集的個數----------。7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的---------。8、無零因子環R中所有非零元的共同的加法階數稱為R的-----------。9、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為--------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？2、S1，S2是A的子環，則S1∩S2也是子環。S1+S2也是子環嗎？3、設有置換1．求2．確定置換，。和；和的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數模擬試題四一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（）個元素。A.2C.7B.5D.102.設A＝B＝R(實數集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（A.滿射而非單射C.一一映射）B.單射而非滿射D.既非單射也非滿射3.設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)C.(1)，(123)B.(12)，(13)，(23)D.S3中的所有元素4.設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（）個。A.2C.6B.4D.85.下列集合關于所給的運算不作成環的是（）A.整系數多項式全體Z［x］關于多項式的加法與乘法B.有理數域Q上的n級矩陣全體Mn(Q)關于矩陣的加法與乘法C.整數集Z關于數的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整數集Z關于數的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設“～”是集合A的一個關系，如果“～”滿足___________，則稱“～”是A的一個等價關系。7.設(G，·)是一個群，那么，對于a，b∈G，則ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1___________。＝8.設σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干個沒有公共數字的循環置換之積)。9.如果G是一個含有15個元素的群，那么，根據Lagrange定理知，對于a∈G，則元素a的階只可能是___________。10.在3次對稱群S3中，設H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.設Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6為模的剩余類環，則Z6中的所有零因子是___________。12.設R是一個無零因子的環，其特征n是一個有限數，那么，n是___________。13.設Z［x］是整系數多項式環，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)＝________________________。14.設高斯整數環Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中的所有單位是______________________。15.有理數域Q上的代數元+在Q上的極小多項式是___________。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16.設Z為整數加群，Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個映射，其中：k→［k］，k∈Z，驗證：是Z到Zm的一個同態滿射，并求的同態核Ker。17.求以6為模的剩余類環Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子環，并說明這些子環都是Z6的理想。18.試說明唯一分解環、主理想環、歐氏環三者之間的關系，并舉例說明唯一分解環未必是主理想環。四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設G＝{a，b，c}，G的代數運算“”由右邊的運算表給出，證明：(G，)作成一個群。aabbccabcbccaab20.設已知R關于矩陣的加法和乘法作成一個環。證明：I是R的一個子環，但不是理想。21.設(R，＋，·)是一個環，如果(R，＋)是一個循環群，證明：R是一個交換環。近世代數模擬試題一參考答案一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、交換環；4、整數環；5、變換群；6、同構;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換的乘積：2、解：設A是任意方陣，令，和，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、答：（中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對于G中任意元x，y，由于，）不是群，因為，所以（對每個x，從可得）。2、證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個商域證畢。近世代數模擬試題二參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環；3、25；4、模n乘余類加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：H的3個右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因為（E，）中無單位元。3、解方法一、輾轉相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明設e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，則x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易證明這樣的關系是Z上的一個等價關系，把這樣定義的等價類集合記為Zm，每個整數a所在的等價類記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a≡b(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：[0]與[1]。近世代數模擬試題三參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因為S1，S2是A的子環，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環。S1+S2不一定是子環。在矩陣環中很容易找到反例：3、解：1．，；2．兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。近世代數試卷一、判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內打“√”，錯的打“×”；每小題1分，共10分）1、設與都是非空集合，那么2、設、、都是非空集合，則。（）到的每個映射都叫作二元運算。（）3、只要是到4、如果循環群的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（）中生成元的階是無限的，則與整數加群同構。（）5、如果群的子群是循環群，那么也是循環群。6、群的子群是不變子群的充要條件為（）。（）7、如果環的階8、若環滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。9、的多項式叫做元在域上的極小多項式。（），那么的單位元。（）（）中滿足條件10、若域的特征是無限大，那么含有一個與生成的主理想。（）同構的子域，這里是整數環，是由素數二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）1、設①集合③和都是非空集合，而是中兩兩都不相同；②到的一個映射，那么（）的次序不能調換；中不同的元對應的象必不相同；的象可以不唯一。④一個元2、指出下列那些運算是二元運算（）①在整數集上，；②在有理數集上，；③在正實數集上，；④在集合上，。3、設是整數集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（）①不適合交換律；②不適合結合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。4、設為群，其中是實數集，而乘法，這里為中固定的常數。那么群中的單位元和元的逆元分別是（）①0和；②1和0；③和；④和。5、設和都是群中的元素且，那么（）①；②；③；④。6、設是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（）①6；7、設②24；是一個群同態映射，那么下列錯誤的命題是（）的不變子群；③③10；④12。①的同態核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的子群的象是的子群；④的不變子群的象是的不變子群。8、設是環同態滿射，，那么下列錯誤的結論為（）②若是單位元，則是單位元；①若是零元，則是零元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（）①歐氏環一定是唯一分解環；③唯一分解環必是主理想環；②主理想環必是歐氏環；④唯一分解環必是歐氏環。10、若是域的有限擴域，是的有限擴域，那么（）①③；；②④；。三、填空題（將正確的內容填在各題干預備的橫線上，內容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）1、設集合；，則有。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則3、設集合有一個分類，其中是的兩個類，如果。。與，那么。4、設群中元素的階為，如果5、凱萊定理說：任一個子群都同一個，那么與存在整除關系為同構。6、給出一個5-循環置換，那么。7、若是有單位元的環的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為。8、若是一個有單位元的交換環，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是。9、整環的一個元叫做一個素元，如果。10、若域的一個擴域叫做的一個代數擴域，如果。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內容寫在預備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。3、設和是環的理想且，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。五、計算題（共15分，每小題分標在小題后）1、給出下列四個四元置換組成的群，試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設是模6的剩余類環，且。如果、，計算、和以及它們的次數。六、證明題（每小題10分，共40分）1、設和是一個群的兩個元且，又設的階，的階，并且，證明：的階。2、設為實數集，，令，將的所有這樣的變換構成一個集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個群。3、設和為環的兩個理想，試證和都是的理想。4、設是有限可交換的環且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數試卷參考解答一、判斷題12345678910××√√×√√√××二、單項選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、填空題1、。2、。3、。4、5、變換群。6、。。7、。8、一個最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個元都是F上的一個代數元。四、改錯題1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結合律與交換律2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。消去律成立3、設和是環的理想且S=I或S=R，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個單位因子5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元啊啊點集拓撲試題樣卷A一、單項選擇題(每小題3分，共30分)1、設①，下列集族中,上的拓撲是…（）.②④③2、已知①φ②3、設，拓撲,則=………………（,則的既開又閉的）③④，拓撲非空真子集的個數為…………（①1②2③3④44、在實數空間中，有理數集的邊界②Q③R-Q④R5、在實數空間中，區間）是…（）①的內部是………（）①②③④6、設是一個拓撲空間，A,B是的子集,則下列關系中錯誤的是（）①②④③7、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為………()①③②④8、設是拓撲空間的積空間.的投射，則是………（）②連續的單射④滿的連續開映射是到①單射③滿的連續閉映射9、離散空間的任一子集為………(①開集②閉集③即開又閉④非開非閉)10、在實數空間R中，下列集合是開集的是…………（①整數集Z②有理數集）③無理數集④整數集Z的補集1、②2、④3、②4、④5、④6、③7、②8、④9、③10、④二、填空題(每小題4分，共20分)1、設2、若拓撲空間有一個可數稠密子集，則稱是一個可分空間；3、正則的空間；,則的平庸拓撲為；空間稱為4、若任意個拓撲空間,都具有性質,則積空間也具有性質，則性質稱為有限可積性質；5、是拓撲空間到的一個映射，如果它是一個滿射，并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲，則稱是一個商映射;三、名詞解釋（每小題4分，共20分）1、序列是一個拓撲空間，每一個映射叫做中的一個序列.2、空間一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數鄰域基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第一可數性公理的空間，簡稱為空間.3、正則空間：設是一個拓撲空間，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.4、緊致空間設是一個拓撲空間.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個緊致空間.5、同胚映射設和是兩個拓撲空間.如果都是連續映射，則稱是一個同胚映射或同胚.四、證明題（每小題6分，共30分）是一個一一映射，并且和1、設是從連通空間到拓撲空間的一個連續映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得……………3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集此外，，這說明不連通，矛盾.從而2、設X是一個含有不可數多個點的可數補空間.證明X不滿足第一可數性公理.證明：若滿足第一可數公理，則在處,有一個可數的鄰域基，設為Vx,因為X是可數補空間，因此是的一個連通子集.…………6分對,是的一個開鄰域，從而,使得.于是,…………………3分由上面的討論我們知道：因為是一個不可數集，而是一個可數集，矛盾.從而X不滿足第一可數性公理.………………6分3、設是空間的一個收斂序列,證明：的極限點唯一.證明：若極限點不唯一，不妨設,,其中，由于是空間，故和各自的開鄰域，使得.因，故存在，使得當時，；同理存在，使得當時，.…………3分令,則當時，，從而,矛盾，故的極限點唯一.………………6分4、證明空間中任何一個連通子集如果包含著多于一個點，則它一定是一個不可數集.證明：設是空間中的一個連通子集，如果不只包含一個點，任意選取，應用Urysohn引理可見，存在一個連續映射.………3分.對于空間中的兩個無交的閉集，使得和由于是的一個連通子集，從而連通，由于，所以，由于是一個不可數集，所以也是一個不可數集.……………6分5、設是一個正則空間，是的一個緊致子集，子集..證明：如果,則也是的一個緊致證明：設A是任意一個由X中的開集構成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個成員使得.…………………3分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此Y是X的一個緊致子集.………………6分點集拓撲試題樣卷B一、選擇題(將正確答案填入題后的括號內,每題3分，共18分)1、已知,下列集族中，是上的拓撲.……（）①②③④2、已知①φ②，拓撲,則是………………（）③④3、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,則的商拓撲是（）①③②④4、下列拓撲學的性質具有可遺傳性的是………（）①連通性②③正則④正規，則5、設，是………………（）①空間②6、下列拓撲學的性質具有有限可積性的是……（）①連通性②緊致性③正則性④可分性空間③空間④1、③2、②3、①4、②③5、①6、①②③④二、簡答題（每題4分，共32分）1、寫出同胚