蘇教版文科高中數學高考總復習知識梳理數列求和及其綜合應用提高

1、精品文檔用心整理數列求和與綜合應用【考綱要求】.熟練掌握等差數列和等比數列的求和公式；.掌握數列的通項 an與前n項和$之間的關系式.注意觀察數列的特點和規律，在分析通項的基礎上分解為基本數列求和或轉化為基本數列求和，熟 練掌握求數列的前 n項和的幾種常用方法；.能解決簡單的實際問題.【知識網絡】【考點梳理】縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用， 如增長率、銀行信貸、濃度匹配、養老保險、圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題

2、設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.與計算有關的問題主要有：求數列的某項，確定數列的通項公式，求有窮數列或無窮數列之和，計算數列的極限，將數列與方程，與不等式，與某些幾何問題等聯系起來，從而解決有關問題有關定性問題的論證問題主要有：考察或論證數列的單調性， 將數列分類定性，考察數列的圖像特征，考察數列的極限存在與否等等 .有關實際應用問題： 某些與非零自然數有關的實際應用題，可用數列的各項與之對應，然后利用數列 有關知識解答此類應用題.數列的函數屬性： 因數列是函數的特例，故解答有關問題時，常與函數知識聯系起來考慮【典型例題】類型一：數列與函數的綜合應用

3、例1.對于數列an,規定數列Aan為數列an的一階差分數列，其中 Aan =an由an (nW N*)；般地，規定4、口為an的k階差分數列，其中 A、n = Ak/an由Akan且kC N* , k2o資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理5 2 13(1)已知數列an的通項公式an= n n (n w N*)。試證明Aan是等差數列;22(2)若數列an的首項 ai=-13,且滿足 Van Aan4+an = 22n平(neN*),求數列考2n 1an及an的通項公式;(3)在(2)的條件下，判斷an是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說明理由。解析：(1)依題意：Aa

4、n=an+an,52 135 2 13：an = (n 1)2 (n 1) - n2 - n =5n -4 TOC o 1-5 h z 2222Aan - Aan =5( n +1) -4 -(5n -4) = 5 ,，數列3n是首項為1,公差為5的等差數列。(2) 黑牛=2n, an =22n 17 2n%(n *,nw N*) 22人217(3)令 f (x) =x -x ,217.則當x = (g,一)時，函數f(x)單倜遞減;4當xW(一，十整)時，函數f(x)單調遞增；4又因 an =22n 17 ,2n=(2n)2 17 -2n ,2由 2 173 17叫2 一小2 丁所以當n=2

5、時，數列an存在最小值，其最小值為一18。3【變式1】已知數列an的首項a1 = 35舉一反三:an+=3, n = 1,2,|.2an 1(I)求an的通項公式;一一 ，,. 一112一，(n)證明：對任意的 x0, an -(-x) , n=1,2,；n 1 x (1 x)2 3n2(m)證明：a1 +a2 +III +an -n.n 1解析:(I)一 3an* an + = 7T 2an 1121二一十, an 133a n1an 1-1 =-(- -1),3 an資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理1又,一1an-1是以2為首項,3an1 ，一，一1為公比的等比數歹U.31-

6、13nan3K33nan = n二32(n)設 f (x)1 x (1 x)2 31(Jr-x),則 f (x)1-(1 x)2 一4一x) 2(1 x)3-x)2(1 x)22(1x)22(1x)212 = an -1 3na aan1 x (1 x)2 3(2-x)1 x (1 x)2 322(2-x) III1 x (1 x)22n-x)1 x (1 x)222 .2相+川+了一僅.22 HL 2-令 3+京+川+7一一=01 2 2 , , 2則 x(_ - I -)=n 3 323n21-(1)33nn(1-1)33n2 .一 .一,2 ,一 . 一*x0,.當 x-n時，(*)0；

7、當*)時，f(x)0,33,2 .一一 2、，當x =時，f (x)取得最大值f ()= 3n3n二原不等式成立.(m)由(n)知，對任意的 a1a2111a3n【變式2】已知數列an和bn滿足:&312(一-21)1 1-(1 n二原不等式成立.【函數的極值和最值388566典型例題三其中九為實數，n為正整數.(I)對任意實數 九，證明數列an不是等比數列;資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理(n)試判斷數列bn是否為等比數列，并證明你的結論;解析:(I )假設存在實數 九，使得數列an是等比數列，則、八4-2al ,a2 , a3 必然滿足 a2 = ai，a3 -4,2_由a?

8、 = a1 a3得9=0,顯然矛盾,即不存在實數 九使得數列an是等比數列。(n)根據等比數列的定義：bn i(-1)n1an3(n 1) 21bn -(-1)n 2-3n 21-2an n-4-3(n 1) 21= _34 -3n 21一|a -2n 14一 3n 21 TOC o 1-5 h z 2 a - 3n 212=-=-3 an-3n 2132即 4 1 = -gbn又b = - d -3 21 = -(18)所以當1 = -18時，數列bn不是等比數列；當 九# 18時，數列bn是等比數列類型二：數列與不等式例2.設an是由正數組成的等比數列，$是其前n項和，證明：10g0.5S

9、n *log0.5 %a log05sn書.2.解析：(1)當 q=1 時，S=na1,從而 Sn Sn七 一 S：士=na ( n + 2) a1 一(n +1)2 a； = -a2 0 ,當qw1時，Sn =a1(1 F),從而1 -q二 0.a：2(1-qn)(1-qn 2)-a12(1-qn )2Sn Sn 2 -S2 1 =2 = -afqn(1 -q)2由(1) (2)得：Sn Sn 七 ，、 、-uu i222【變式 1】數列 Xn滿足：Xl=0, Xn + 1= Xn + Xn+C(n C N)(I)證明：數列 Xn是單調遞減數列的充分必要條件是CX2 = X； + Xi +

10、CU CX12 = 0 TOC o 1-5 h z 得：數列 Xn是單調遞減數列的充分必要條件是CV0(II) (i)假設 Xn是遞增數列，由 X1 = 0,得 x2=c, x3 = c2+2c。由 x1V x2vx3,得 0V c1都有Xn父JC注意到 Jc -Xn V =X2 +Xn -C + 匯=(1 - MC -Xn)(C - Xn)由式和式可得1 一 JC -Xn A0即Xn 1 0還可得，對任意n 1都有JC-xn書W (1 - JC)(Jc-Xn).反復運用式，得C - Xn 三(1 - C)n ( . C -X1) : (1 - C)n /.Xn 1 -Vc和 & -Xn (1

11、 _ VC)n兩式相力口，知2& -1 (1 _ VC)n對任意nJ成立.根據指數函數y =(1 - 6、的性質，得2-. C-1M0, cm1,故0c-. TOC o 1-5 h z 4412(ii)若0 C 0. 4即證Xn 7c對任意n*成立。下面用數學歸納法證明當0cW時，xn,C對任息n聲成立.41(1)當n= 1時，Xi = 0v Jc M ,結論成立.21 r(2)假設當n = k(kCN )時結論成立，即： 4 C ,因為函數f(x)=x+x+c在區間(5內單調遞 增，所以Xk+i = f(Xk)v f(dc)=VC,這就是說當n=k+1時，結論也成立.故xn Xn ,即X n

12、是遞增數列.1,由(i)(ii)知，使得數列Xn單調遞增的c的范圍是(0,一.4資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理【變式2】設數列an 的前n項和為Sn,已知a1 = a , an = Sn+3n , n w N .(i)設bn =Sn -3n ,求數列bn的通項公式； *(口)右an+ an，n n n，求a的取值范圍.角軍析：(I)依題意，Sn 邛一Sn =an4 =Sn +3n，即 Sn 平=2Sn +3n , 由此得 Sn+-3n+ =2(Sn -3n).因此，所求通項公式為 bn =Sn 3n =(a3)2n,，nW N* .(n)由知 Sn =3n +(a -3)2nJ

13、L, nw N*,于是，當n22時,an =Sn-Sn=3n(a-3)2n-3n,-(a -3)2n工=23n,(a-3)2nan書-an =4M3nJL+(a 3)2n/ =2nL2x(1)n +a-3, 當 n22 時，an 書 anu L2x(3)n +a-3 0 a -9 .2又 a2 = a + 3 a a1.綜上，所求的a的取值范圍是-9,+g ).類型三：實際應用問題例3.某地區現有耕地L0000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加 22%,人均糧食占有量比現在提高10% ,如果人口年增長率為1% ,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃？(精確到L公頃)(糧食總產量耕地面積人均糧

14、食占有量總產量總人口數解析：方法一：由題意，設現在總人口為 A人，人均糧食占有量為 b噸，現在耕地共有L04公頃，于Ab .是現在的糧食單廠量 一b噸/公頃，10年后總人口為A(L + 0.0L),人均糧食占有量b(L+0.L)噸，若設平L04均每年允許減少x公頃，則10年耕地共有(L04-L0 x)公頃，于是10年后糧食單產量為10A(L 0.0L) b(L 0.L)-4噸/公頃.L0 -L0 x由糧食單產10年后比現在增加22%得不等式：10A(L O.O? b(L。三絲(L 0.22)L0 -L0 xL0資料來源于網絡僅供免費交流使用化簡可得 104(1 0.01)10 (1 0.1)

15、1.22(104 -10 x)門口 104 1.22 -104(1 0.01)10(1 0.1) 即 x W-,精品文檔用心整理10 1.22x 0,即 6n9.【變式2】某地區原有森林木材存量為 a ,且每年增長率為25% ,因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b ,設an為n年后該地區森林木材存量（1）寫出an的表達式. .7 ,一 19（2）為保護生態環境，防止水土流失，該地區每年的森林木材存量應不少于a ,如果b =a ,那 TOC o 1-5 h z 972么今后該地區會發生水土流失嗎？若會，要經過幾年？（取 lg2=0.30）.解析：（1）依題意，第一年森林木材存量為a,1年后

16、該地區森林木材存量為：a1 = a - b ,455 252年后該地區森林木材存重為：a2= a1b = （一） a-（一十1）b,44455o5c53年后該地區森林木材存重為：a3 = a2-b =（一/a -（一）+1b, HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 44444年后該地區森林木材存量為：a4 =5a3-b = （-）4a-（5）3 + （-）2+-+1b,44444資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 5n 5 n

17、 15 n 25n年后該地區森林木材存量為：an=() a -(-) 一+() 一 +. +1b HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 444419 7(2)若b = a時，依題意該地區今后會發水土流失，則森林木材存量必須小于一a ,729即(5)na 4(5)n 1M19a 5,即 n 1g - lg5 , 44. Ig5 1-ig2 1 - n = 7 ，1g5 -21g 2 1 -31g 2n =8.答：經過8年該地區就開始水土流失.【變式3】某種汽車購買時的費用為10萬元，每年應交保險費、養路費及汽油費合計9千元，汽車的維修費平均為第一年

18、2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數列遞增，問這種汽車使用多少 年后報廢最合算？(即年平均費用最少)【答案】 設汽車使用年限為n年，f(n)為使用該汽車平均費用1 I,f n )= 10 0.9n (0.2 0.40.2n) 1n1 _1 2 =310 nr n 10當且僅當,即n=10 (年)時等到號成立.10 n因此該汽車使用10年報廢最合算.【變式4】某市2010年底有住房面積1200萬平方米，計劃從 2011年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.(1)分別求2011年底和2012年底的住房面積；(2)求2030年底的住房面積.(計算結果以萬平方米為單位，且精確到0.01)【答案】2011年底的住房面積為 1200(1+5%)20=1240 (萬平方米)，2012年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20=1282 (萬平方米)，2011年底的住房面積為1240萬平方米；2012年底的住房面積為1282萬平方米.2011年底的住房面積為1200(1+5%) 20萬平方米，2012年底的住房面積為1