等差數列的求和公式教學設計

1、等差數列前n項和教學案例： 一、教學設計思想 本堂課的設計是以個性化教學思想為指導進行設計的。 本堂課的教學設計對教材部分內容進行了有意識的選擇和改組，為了體現個性化教學的教學理念，在教法上，采用了以學生為主體，以問題為中心，以老師為引導，以小組的合作為主要學習方式。課堂結構個性化，讓學生在探究中展現個性，在合作中促進學生的個性發展。 在教學中通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。二、學生情況與教材分析 1、學生通過上一節的學習，已經了解了等差數列的定義，基本上掌握了通項公式，會運用等

2、差數列的通項公式進行解題，因此只要簡單地回顧上一節課的知識就可引入新課；2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學思想。3、學習應該是學生積極主動的建構知識的過程，應該與學生熟悉的背景相聯系。本課要求學生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學習，認識和理解數學知識，學會發現問題并嘗試解決問題，在學習活動中進一步提升自己的能力。三、教學目標 1、知識目標

3、（1）掌握等差數列前n項和公式,理解公式的推導方法；（2）能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。2、能力目標經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。 3、情感目標通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。四、教學重點、難點 1、等差數列前n項和公式是重點。2、獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。教學過程：1、引入新課（1）復習師：上一節課中，我們學習了等差數列的定義及通項公式，知道了“公差d=，通項公式an=”（見黑

4、板）生：（回答黑板上的問題） （2）故事引入師：那等差數列的前n項和怎樣求？今天，我們主要探討等差數列的前n項和公式。古算書張邱建算經中卷有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉多一錢，共有百人，問共與幾錢？師生共同讀題師：題目當中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？ 生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？師：很好，問題已經呈現出來了，你能用數學符號語言表示嗎？生2：用表示第n個人所得的錢數，則由題意得： ，只要求出1+2+3+100=？師：你能求出這個式子的值嗎？ 生2：（猶豫片

5、刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101，所求的和為101×=5050 .師：對于這個算法，著名的數學家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101， 第2項與倒數第2項的和：2+99=101， 第3項與倒數第3項的和：3+98=101， 第50項與倒數第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050上面的問題可以看成是求等差數列1，2，3，n, 的前100項的和.在上面解決問題的過程中,我們發現所求的和可用首項、末項及項數n來表示，且任意的第k項與倒數第k項的和都等于首項與末項的和，

6、從中你有何啟發？我們如何去求一般等差數列的前n項和？設計意圖：通過情景引入活動、任務，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用得過程，其作用就在于提升學生的經驗，使之連續地向形式的、抽象的數學知識的轉變.構筑在學生已有生活經驗與生命體驗基礎之上的數學課程大大激發了學生“做數學”的熱情，數學課變得更生動、更活潑，更能引發學生的興趣.新教材中增添了一些數學史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數學教學過程中，應適時掀起數學史的教學蓋頭。向同學們介紹了張邱建算經和高斯及他的算法，講課的過程中適當插入數學史，為數學教學輸入了新鮮血液.培養學生的數學文化，營造濃郁的“人文”氛圍.師：設等差數

7、列的前n項和為，則生3：（直接給出公式）由剛才問題的結果可知師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數學的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數學公式的得出需要嚴謹的推理過程和相關的理論依據.你能否推導這個公式？生4：+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項還是兩項？）師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+101=？n項時又應如何分組？最后一組應怎樣表示？生4（繼續回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=10250+52=102，51= 共有50組多出第51項n分奇偶性討論，n為偶數時正好分成

8、組，n為奇數時分成組還多一項當n為偶數時， =當n為奇數時， = 師：好通過分類討論我們得出了等差數列的前n項和公式，從所得的結果看無論n是奇數還是偶數的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導呢？怎樣出現首末兩項的和？ 師：下面我們從一個稍稍簡單一點的等差數列來推導探討（學生觀察幻燈片上以等差數列逐層排列的一堆鋼管。） 師：如何求？ （課件演示：引導學生設想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示） 生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請大家來猜想一下這個呈等差數列排列的

9、鋼管的總和sn等于多少？ 生：師：所以我們還可以如何求等差數列通項公式？生5：將上面兩式左右兩邊分別相加得 =師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數列問題是也經常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數列下標等距性質.（有學生舉手）生6：我用另外一種方法得出的結果不一樣 = =師：這個結果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯系嗎？大家一起發現等差數列前n項和公式：師(總結) ：我們得到了兩個計算等差數列前n項和的公式.由公式可知，只要知道 這四個量中的三個就可以求出等差數列前n項和.設計意圖：新課標指出“學生的學習過程就是在教師指導下的再創造的過

10、程”在教學的過程中，教師要指導學法，把教與學的過程很好地統一起來，想方法鼓勵學生積極參與，大膽設疑、質疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學.教師同通過問題情境或學習情境以誘發他們進行探索與問題的解決活動.應用舉例例1等差數列10,6,2, 2前多少項的和是54?解：設題中的等差數列為，前n項和為，則， 由題意得 解得（舍）前9項的和為54.師(總結)：已知量，求n，合理選用公式. 思想方法：方程思想.設計意圖：學以致用,直接運用公式加深對公式的認識和理解.主要通過方程的思想進行基本量的運算.注意解題格式和規范.例2求集合中元素的個數，并求這些元素的和.解：由得即 由于滿足不等式的正整數n共有14

11、個，所以集合M中的元素共有14個，將他們從小到大列出，得7，7×2，7×3，7×14， 這個數列是等差數列，記為，其中 答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1：分析：n<100,M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數共有多少個？它們的和是多少？分析：設m是滿足條件的數，則m=7n+1,且m<100, 或m=7n-6,且m<100,設計意圖：高中數學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方法，這要求我們轉變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養學生的基本技能，將變式訓練與引導學