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文檔簡介

1、9.1.2 平面(二)教學目標(一)教學知識點1.平面基本性質的公理3的三個推論.2.平面的基本性質及其推論的作用.3.推論的圖形語言、符號語言.4.性質與推論的簡單應用.(二)能力訓練要求1.掌握公理3的三個推論.2.會用圖形語言、符號語言表示推論的文字語言.3.掌握平面的基本性質及其推論的作用.4.初步掌握推論與性質的簡單應用.(三)德育滲透目標使學生通過空間想象能力的初步訓練,加深對我們所處的三維空間的認識,培養學生的辯證唯物主義世界觀.教學重點平面基本性質公理3的三個推論,在學習中要注意它們的條件、結論、作用、圖形語言及符號語言,并掌握熟記它們.教學難點三個推論的證明及性質、推論的簡單

2、應用.教學方法指導學生自學法上節課我們學習了平面的基本性質三個公理,本節課所學的三個推論是在上節課公理的基礎上推出的結論,教師給予必要的點撥指導,學生對推論的學習與掌握應該是沒有問題的.啟發引導學生對推論的證明(也可根據學情讓學生模仿證明),既可讓學生嘗試探索證明途徑,培養學生的邏輯推理能力,又可突出學生的主體參與,使學生體會到參與的樂趣,學會自學的方法,增強自己獲取知識的能力.至于公理與推論的簡單應用,教師應在方法上予以必不可少的指導.教學過程.復習回顧師上節課我們學習了平面的基本性質三個公理,請同學們回憶一下,三個公理的具體內容是什么?生甲如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所

3、有的點都在這個平面內.師好!用圖形表示是怎樣的呢?生乙(上講臺在黑板上作圖)師用符號表示是怎樣的呢?生丙(板書于黑板上).師很好!l就說直線l在平面內,也就是說直線l上的所有的點都在平面內,請同學們考慮一下,怎樣的直線l我們就說它在平面外呢?生丁不在平面內的直線l,我們就說它在平面外.生戊直線l上沒有兩點在平面內,我們就說它在平面外.生己直線l上有一個點不在平面內,我們就說它在平面外.生庚直線l上最多有一個點在平面內,我們就說它在平面外.師生丁、戊、己、庚誰談得正確呢?(學生考慮,然后回答:都正確)師剛才四位同學的回答都是正確的!那么同學們誰來談一下,直線l在平面外時,直線與平面的位置關系可能

4、是怎樣的?生辛直線與平面只有一個公共點或直線與平面沒有公共點.師好!直線與平面沒有公共點或直線與平面只有一個公共點,都叫直線在平面外.(這個討論,為日后研究直線與平面的位置關系打下伏筆)師再請一位同學來談一下公理2的內容.生壬如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.其圖形語言為用符號表示為P=l且Pl.師很好!這個公理告訴我們,如果兩個平面有一個公共點,那么它們相交于過這個公共點的一條直線.在畫兩個平面相交時,一定要把它們的交線畫出來.再請一位同學來談一下公理3.生癸經過不在同一直線上的三點,有且只有一個平面.其圖形語言為用符號表示為A

5、、B、C不共線存在唯一的平面,使得師公理3實質上是確定平面的條件.從剛才大家的回答來看,對各個公理,大家記憶得很好,但關鍵還在于理解,要把各個公理的作用弄清楚、弄透徹,正確、合理地運用它去解決具體問題.在平面幾何中,我們知道兩點確定一條直線,在立體幾何中,我們又知道,不在一直線上的三點確定一個平面.后者就是公理3的實質.由公理3,我們還可得到下面的一些推論,請同學們再看課本P6.指導自學(學生看課本時,教師將三個推論板書寫在黑板上)推論1:經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.推論2:經過兩條相交直線有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線有且只有一個平面.師對于推論1,可以這樣來

6、理解:公理3告訴我們不在同一直線上的三點確定一個平面,由于這三點中的任意兩點可確定一條直線,而第三點在這條直線外,所以由公理3這條直線與它外面的一點可確定一個平面.這樣理解是可以的,但對于推論的正確性,還是需要進行嚴格證明的.分析:(1)與平面幾何的證明一樣,證明立體幾何問題的一般步驟是:第一步:根據題意作圖,寫出已知、求證;第二步:寫出證明過程.(2)對于“有且只有”型命題的證明,要從“有”和“只有”兩方面證明,即既證明存在性“有”,又證明唯一性“只有”.(3)化生疏為熟悉、化未知為已知是我們常用的解(證)題方法.師推論1的圖形語言是怎樣的?請一位同學來黑板上畫出.生(上黑板畫圖)師請根據推

7、論1的文字語言和圖形寫出已知和求證.生已知:點Al.求證:過點A和直線l有且只有一個平面.師很好.下面我們一起來作出證明,由剛才的分析,對于這個“有且只有”型的命題,既要證“存在性”,又要證“唯一性”.證明:存在性.在直線l上任取兩點B、C,據題意,A、B、C三點不共線.由公理3,經過A、B、C三點有一個平面.Bl,Cl,l(公理1).又A,平面是經過點A和直線l的平面.唯一性根據公理3,經過不共線的三點A、B、C的平面只有一個,所以經過直線l和點A的平面只有一個.由、,可知經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.師這個推論用符號語言可表示為 .生Al存在唯一的平面,使得A且l.師上面

8、我們給出了推論1的證明,請同學們仿照,嘗試給出推論2、推論3的證明.(同學試證,教師巡視,可讓同學將證明過程板書于黑板上)(推論2:經過兩條相交直線有且只有一個平面)已知:直線a、b且ab=P.求證:過a、b有且只有一個平面.證法一:存在性在直線a、b上分別取不同于點P的點A、B,則點A、B、P是不共線的三點(否則與a、b是兩條相交直線矛盾).根據公理3,過A、B、P三點有一個平面.A,P,AP,即a.同理b,因此過直線a、b有平面.唯一性經過直線a、b的平面一定經過點A、B、P,根據公理3,經過不共線的三點A、B、P的平面只有一個,經過a、b的平面只有一個.由、,可知經過兩條相交直線有且只有

9、一個平面.證法二:存在性在直線a上取不同于點P的點A,則點A直線b.根據推論1,過點A和直線b有一個平面.b,Pb,P.又A,AP,即a.經過相交直線a、b有平面.唯一性經過直線a、b的平面一定經過點A和直線b,而Ab,根據推論1,經過點A和直線b的平面只有一個.經過a、b的平面只有一個.由、,可知經過兩條相交直線有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線有且只有一個平面.已知:直線a、b且ab.求證:經過a、b有且只有一個平面.證明:存在性ab,由平行線的定義,a、b在同一平面內,過直線a、b有一個平面.唯一性在直線b上任取一點B,則Ba(否則與ab矛盾),且B、a在過a、b的平面內.又由推

10、論1,過點B和直線a的平面只有一個,過直線a、b的平面只有一個.由、,可知經過兩條平行直線的平面有且只有一個.師推論2與推論3用符號語言可分別表示為什么呢?生推論2可表示為ab=P存在唯一平面,使得a,b.推論3可表示為ab有且只有一個平面,使得a,b.師“有且只有一個平面”可以說成“確定一個平面”.比如公理3可以表述為“不在同一直線上的三點確定一個平面”.類似地,公理3的三個推論可以分別敘述為生一條直線與它外面的一點確定一個平面.兩條相交直線確定一個平面.兩條平行直線確定一個平面.師好.由此可以看出公理3及它的三個推論,給出了確定一個平面時經常使用的一些條件,我們要予以準確把握.下面我們來進行有關的練習.課堂練習課本P8習題9.1 1,2,5.課時小結本節課,我們學習了公理3的三個推論,這三個推論連同公理3都是確定平面的條件

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